Steekproeven en steekproefomvang

Vijf willekeurige lengtes uit N(170, 6.28) kunnen een standaardafwijking van 3.4 cm geven. Vijfduizend geven een waarde die maar enkele honderdsten van 6.28 afwijkt.

In de praktijk zien we bijna nooit een hele populatie. We zien een steekproef, en het steekproefhistogram is maar een ruwe kopie van de populatieverdeling. Hoe ruw hangt vooral af van één getal: de steekproefomvang n. In dit hoofdstuk trek je in de simulatie willekeurige steekproeven van elke gewenste omvang uit een bekende populatie. Zo zie je de kopie scherper worden als n groeit.

Kleine steekproeven zijn grillig

Begin in de simulatie met de normale lengtepopulatie N(170, 6.28) en een steekproef van 20. Druk een paar keer op ‘Nieuwe steekproef’. Het histogram verandert sterk van steekproef tot steekproef. De ene keer helt het naar links, de volgende keer zit er een gat in het midden. Ook het steekproefgemiddelde x̄ en de standaardafwijking s veranderen. In één simulatiereeks voor deze pagina (toevalszaad 7) gaf dezelfde populatie x̄ = 167.72 en s = 3.37 bij n = 5, x̄ = 171.09 en s = 5.74 bij n = 20, en x̄ = 170.16 en s = 6.92 bij n = 100. Geen van deze uitkomsten is fout. Zo variëren willekeurige steekproeven van die omvang.

Grote steekproeven worden stabieler

Verhoog n naar 1000 en daarna 5000. De staven sluiten nauw aan op de rode kromme en x̄ en s schommelen minder. In dezelfde reeks gaf n = 1000 x̄ = 170.10 en s = 6.11, en n = 5000 gaf 169.84 en 6.29. De gebruikelijke afstand van x̄ tot μ neemt af volgens σ ÷ √n. Bij σ = 6.28 is dat ongeveer 2.81 cm voor n = 5, 1.40 cm voor n = 20, 0.63 cm voor n = 100 en 0.20 cm voor n = 1000. Om de gebruikelijke fout te halveren heb je vier keer zoveel waarden nodig. In de cursus kansrekening onderzoek je deze wortelwet met de steekproevenverdeling van het gemiddelde.

De 68-95-99.7-regel vereist een normale vorm

In het paneel zie je ook welk aandeel van de steekproef binnen één, twee en drie standaardafwijkingen van x̄ ligt. Bij een normale populatie en een grote steekproef worden die aandelen ongeveer 68%, 95% en 99.7%. Kies nu een andere populatie. Bij de uniforme populatie van 0 tot 10 is σ = 10 ÷ √12 ≈ 2.89. Slechts ongeveer 57.7% van de waarden ligt binnen één σ van het gemiddelde, terwijl alle waarden binnen twee liggen. Bij rechtsscheve wachttijden met gemiddelde 5 minuten zijn de populatieaandelen binnen 1, 2 en 3 σ ongeveer 86.5%, 95.0% en 98.2%. Een grote steekproef neemt de vorm van de populatie over. Een scheve populatie wordt er niet klokvormig door.

Waarom de verticale as dichtheid aangeeft

In de steekproefsimulatie is elke staafhoogte de relatieve frequentie gedeeld door de klassenbreedte. Daardoor is de totale oppervlakte van de staven gelijk aan 1, net als de totale oppervlakte onder de populatiekromme. Zo passen de staven en de kromme op dezelfde schaal, ongeacht de steekproefomvang. Op een aantallen-as zouden de staven bij n = 5000 duizend keer zo hoog zijn als bij n = 5. De vergelijking met de kromme zou dan verloren gaan.