Amostras e tamanho da amostra

Cinco alturas aleatórias de N(170, 6.28) podem dar um desvio padrão de 3.4 cm; cinco mil dão um valor a poucos centésimos de 6.28.

Na prática, quase nunca vemos uma população inteira. Vemos uma amostra, e seu histograma é apenas uma cópia aproximada da distribuição da população. O grau dessa aproximação depende principalmente de um número: o tamanho da amostra n. Nesta unidade, o laboratório sorteia amostras de qualquer tamanho de uma população conhecida, para você ver a cópia ganhar nitidez à medida que n cresce.

Amostras pequenas são irregulares

Comece o laboratório com a população normal de alturas, N(170, 6.28), e uma amostra de 20. Pressione Nova amostra algumas vezes. O histograma muda de uma amostra para outra: uma vez se inclina à esquerda, na seguinte tem uma lacuna no meio; a média amostral x̄ e o desvio padrão s também mudam. Em uma simulação feita para esta página (semente aleatória 7), a mesma população deu x̄ = 167.72 e s = 3.37 para n = 5, x̄ = 171.09 e s = 5.74 para n = 20, e x̄ = 170.16 e s = 6.92 para n = 100. Nenhum resultado está errado. É assim que amostras aleatórias desses tamanhos se comportam.

Amostras grandes se estabilizam

Aumente n para 1,000 e depois 5,000. As barras acompanham a curva vermelha, e x̄ e s param de oscilar tanto: na mesma simulação, n = 1,000 deu x̄ = 170.10 e s = 6.11; n = 5,000 deu 169.84 e 6.29. A distância típica de x̄ a μ diminui como σ ÷ √n. Para σ = 6.28, ela é cerca de 2.81 cm com n = 5, 1.40 cm com n = 20, 0.63 cm com n = 100 e 0.20 cm com n = 1,000. Para reduzir o erro típico à metade, são necessários quatro vezes mais valores. O curso de probabilidade examina essa lei da raiz quadrada em detalhes com a distribuição amostral da média.

A regra 68-95-99.7 exige um formato normal

O painel também informa a proporção da amostra a até um, dois e três desvios padrão de x̄. Para uma população normal e uma amostra grande, essas proporções se aproximam de 68%, 95% e 99.7%. Agora troque a população. Na uniforme de 0 a 10, σ = 10 ÷ √12 ≈ 2.89 e só cerca de 57.7% dos valores ficam a até um σ da média; todos ficam a até dois. Nos tempos de espera com assimetria à direita e média de 5 minutos, as proporções da população a até 1, 2 e 3 σ são cerca de 86.5%, 95.0% e 98.2%. Uma amostra grande copia o formato que a população tem; não transforma uma população assimétrica em um sino.

Por que o eixo vertical indica densidade

O laboratório de amostras desenha cada barra com altura igual à frequência relativa dividida pela amplitude da classe. Assim, a área total das barras é 1, igual à área sob a curva da população. Barras e curva podem compartilhar uma escala qualquer que seja o tamanho da amostra. Um eixo de contagens faria as barras de n = 5,000 ficarem mil vezes mais altas que as de n = 5, e a comparação com a curva se perderia.