Escores z

No SAT de 2012, as notas da parte verbal tinham média 496 e desvio padrão 114, então uma nota de 325 tem z = (325 − 496) ÷ 114 = −1.5.

Uma medida isolada diz pouco. Ter 168 cm é ser alto? Fazer 10 pontos é jogar bem? A resposta depende do que é comum naquele grupo e de sua dispersão. Um escore z responde às duas questões de uma vez. Ele informa quantos desvios padrão um valor está acima ou abaixo da média, permitindo comparar medidas em escalas completamente diferentes.

A fórmula

O escore z de um valor x em uma distribuição com média μ e desvio padrão σ é z = (x − μ) ÷ σ. Um z positivo indica x acima da média; negativo, abaixo; z = 0 indica x igual à média. Invertendo, x = μ + zσ. O primeiro exemplo do OpenStax é X ~ N(5, 6) e x = 17: z = (17 − 5) ÷ 6 = 2, portanto 17 fica dois desvios padrão acima da média. Para x = 1 na mesma distribuição, z = (1 − 5) ÷ 6 ≈ −0.67.

Comparando escalas diferentes

O OpenStax compara dois grupos tentando ganhar peso ao longo de seis semanas: X ~ N(5, 6) e Y ~ N(2, 1), em libras. Um ganho de 17 no primeiro grupo e de 4 no segundo parecem muito diferentes, mas ambos têm z = 2. Em relação aos próprios grupos, são igualmente incomuns. O mesmo recurso permite comparar alturas em décadas diferentes. Entre 2009 e 2010, rapazes chilenos de 15 a 18 anos tinham N(170, 6.28); entre 1984 e 1985, N(172.36, 6.34). Uma altura de 160.58 cm no primeiro período e de 162.85 cm no segundo tem z = −1.5 em ambos.

De z a um percentil

Em uma distribuição normal, o escore z determina a área à esquerda, que é o percentil. z = 0 corresponde ao percentil 50. z = 1 deixa cerca de 84.13% abaixo. z = −1.5 deixa cerca de 6.68% abaixo, então a nota 325 no SAT superou apenas cerca de 6.7% das notas, supondo normalidade. O SAT de 2012 teve 1,664,479 participantes, portanto cerca de 15.87% deles, aproximadamente 264,000 estudantes, teriam notas acima de 496 + 114 = 610. Um chileno de 168 cm entre 2009 e 2010 tem z = (168 − 170) ÷ 6.28 ≈ −0.32, entre os percentis 37 e 38. O laboratório mostra essas áreas conforme você move x.

Escores z para dados não normais

É possível calcular um escore z para qualquer valor de qualquer conjunto: ele continua indicando quantos desvios padrão o valor está distante da média. O que muda é a relação com os percentis. Nas horas de jogos, o colega que jogou 0 horas tem z ≈ −2.24. Mas, com apenas 25 valores e assimetria à esquerda, os 1.2% abaixo desse ponto na tabela normal dizem pouco; na verdade, 1 dos 25 valores, 4%, está nesse ponto ou abaixo. Use z livremente para comparar posições dentro de um grupo, mas use percentis da curva normal só quando o formato se aproximar de um sino.