z-оценки

В вербальной части SAT 2012 года среднее было 496, стандартное отклонение 114, поэтому для результата 325 получаем z = (325 − 496) ÷ 114 = −1.5.

Само по себе число мало о чём говорит. Высок ли рост 168 см? Хороши ли 10 очков за игру? Ответ зависит от того, что обычно для этой группы и как велик её разброс. z-оценка учитывает оба обстоятельства. Она показывает, на сколько стандартных отклонений значение выше или ниже среднего, позволяя сравнивать совершенно разные шкалы.

Формула

Для значения x из распределения со средним μ и стандартным отклонением σ z-оценка равна z = (x − μ) ÷ σ. Положительное z означает, что x выше среднего, отрицательное ниже, а z = 0 означает совпадение со средним. Обратная формула: x = μ + zσ. Первый пример OpenStax: X ~ N(5, 6) и x = 17. Получаем z = (17 − 5) ÷ 6 = 2, то есть 17 находится на два стандартных отклонения выше среднего. Для x = 1 в том же распределении z = (1 − 5) ÷ 6 ≈ −0.67.

Сравнение разных шкал

OpenStax сравнивает две группы, пытавшиеся набрать вес за шесть недель: X ~ N(5, 6) и Y ~ N(2, 1), в фунтах. Прибавки 17 в первой группе и 4 во второй выглядят очень разными, но у обеих z = 2. Относительно своих групп они одинаково необычны. Тот же приём подходит для сравнения роста в разные десятилетия. У чилийских юношей от 15 до 18 лет в 2009–2010 годах было N(170, 6.28), а в 1984–1985 годах N(172.36, 6.34). Рост 160.58 см в первом периоде и 162.85 см во втором в обоих случаях дают z = −1.5.

От z к процентилю

Для нормального распределения z-оценка определяет площадь слева, то есть процентиль. z = 0 соответствует 50-му процентилю. При z = 1 ниже лежит около 84.13%. При z = −1.5 ниже лежит около 6.68%, поэтому результат SAT 325 превышал лишь около 6.7% результатов, если распределение баллов было нормальным. В SAT 2012 года участвовали 1664479 человек, значит, около 15.87%, примерно 264000 студентов, должны были набрать больше 496 + 114 = 610. У чилийского юноши ростом 168 см в 2009–2010 годах z = (168 − 170) ÷ 6.28 ≈ −0.32, между 37-м и 38-м процентилями. Лаборатория выводит площади при перемещении x.

z-оценки для ненормальных данных

z-оценку можно вычислить для любого значения в любом наборе данных. Она по-прежнему показывает расстояние от среднего в стандартных отклонениях. Меняется связь с процентилями. У одноклассника, игравшего 0 часов, z ≈ −2.24, но для 25 значений со скосом влево табличные 1.2% ниже этой точки мало что значат: на деле не выше неё находится 1 из 25 значений, то есть 4%. Используй z для сравнения положений в группе, а процентили нормальной кривой только при форме, близкой к колоколу.