Главная›Вероятность и статистика›Распределения

Нормальная кривая

У 5738 измерений Кетле среднее равно 39.83 дюйма, стандартное отклонение 2.05. Нормальная кривая с этими параметрами предсказывает 1102 мужчин с обхватом 40 дюймов, а в таблице их 1079.

Многие измеряемые величины, от роста и баллов за тест до ошибок повторных измерений, образуют колокол: большинство значений близки к середине, к краям их становится всё меньше, а две стороны зеркально похожи. Гладкая линия, описывающая эту форму, называется нормальной кривой. Соответствующее распределение величины называют нормальным. Это самая распространённая модель в статистике.

Кривую определяют два числа

Любую нормальную кривую определяют два числа. Среднее μ задаёт положение пика, а стандартное отклонение σ задаёт ширину колокола. OpenStax использует запись X ~ N(μ, σ). При изменении μ вся кривая сдвигается вдоль оси без изменения формы. При изменении σ она растягивается или сжимается: чем больше σ, тем ниже и шире колокол, ведь полная площадь под нормальной кривой всегда равна 1. Кривая симметрична относительно μ, поэтому среднее, медиана и мода совпадают. В точках μ − σ и μ + σ меняется направление её выпуклости, что помогает оценить σ по рисунку.

Загрузка

Перетащи, чтобы повернуть. Для изменения масштаба прокрути колёсико или сведи и разведи два пальца.

Нормальная кривая для обхвата груди у Кетле, N(39.83, 2.05). Двигай ползунок μ, чтобы сдвигать кривую, и σ, чтобы менять её ширину. В поле закраски выбери область слева от x и перетаскивай точку на графике: закрашенная площадь равна доле солдат с обхватом меньше x.

Площадь означает долю

На гистограмме относительных частот доля значений в диапазоне равна площади столбиков над ним. С нормальной кривой всё так же. Площадь под кривой между двумя значениями равна доле генеральной совокупности в этом диапазоне, а также вероятности попадания туда случайно выбранного значения. Из-за симметрии площадь слева от μ в точности равна 0.5. Для других диапазонов площади находят по таблице или калькулятору; лаборатория вычисляет их и выводит на панели.

5738 измерений обхвата груди у Кетле (столбики) и нормальная кривая с теми же средним и стандартным отклонением (красная).

КонтекстКривую сначала нашли как способ упростить вычисления. В 1700-х годах лондонский математик Абрахам де Муавр, к которому часто обращались игроки, вычислял вероятности вроде выпадения 60 или более орлов за 100 бросков монеты. Для этого приходилось вручную складывать десятки биномиальных вероятностей. Он заметил, что с ростом числа бросков столбики биномиального распределения приближаются к гладкой кривой, и в 1733 году нашёл её формулу. Через столетие бельгийский астроном Адольф Кетле применил кривую не только к играм и небу, но и к людям. В 1846 году он опубликовал измерения обхвата груди 5738 шотландских ополченцев, переписанные из источника 1817 года, и показал, что они близки к колоколу. На таких кривых он строил идею «среднего человека». Позже Стивен Стиглер сравнил таблицу Кетле с оригиналом и нашёл ошибки переписывания: в исправленной таблице мужчин с обхватом 44 дюйма оказалось 168, а не 92. Это устранило большую часть расхождения с кривой в этой точке.

Модель, а не закон

Ни один реальный набор данных не бывает строго нормальным. Обхват груди записан в целых дюймах, а кривая гладкая. Её хвосты никогда не достигают нуля, тогда как у обхвата есть минимум и максимум, а частоты колеблются около кривой. Распределение называют «приблизительно нормальным», если кривая с теми же средним и стандартным отклонением достаточно хорошо подходит для решаемой задачи. Скошенные данные, например численность персонала ресторанов, не являются приблизительно нормальными. Расчёты по нормальной кривой для них могут сильно ошибаться.

Нормальное распределение	Симметричное колоколообразное распределение N(μ, σ)
μ	Среднее: положение пика
σ	Стандартное отклонение: ширина колокола
Полная площадь	В точности 1
Площадь между a и b	Доля (вероятность) значений между a и b
Де Муавр, 1733	Нашёл кривую как приближение для числа орлов при бросках монеты

Какое число сдвигает нормальную кривую влево или вправо, не меняя её формы?
- μ
- σ
- n
- Площадь
σ удвоилось. Что происходит с высотой пика?
- Удваивается
- Уменьшается вдвое
- Не меняется
- Становится равной 1
Площадь под всей нормальной кривой?
Площадь слева от среднего?
Обхват груди у Кетле: какая доля измерений равна 39, 40 или 41 дюйму (1073 + 1079 + 934 из 5738)? Процент с одним десятичным знаком.
У скольких солдат обхват был не больше 37 дюймов? (3 + 18 + 81 + 185 + 420)
В каком году де Муавр нашёл формулу кривой?
- 1654
- 1733
- 1846
- 1954
В нормальном распределении среднее, медиана и мода...
- Все равны
- Среднее больше остальных
- Медиана больше остальных
- Не связаны
Где кривая меняет направление выпуклости?
- В μ
- В μ ± σ
- В μ ± 3σ
- Нигде
Численность персонала ресторанов скошена вправо. Стоит ли использовать для неё площади нормальной кривой?
- Да, всегда
- Нет, распределение не является приблизительно нормальным
- Только для среднего
- Только в 3D

Главное

Нормальная кривая представляет собой симметричный колокол, заданный μ (центром) и σ (шириной); полная площадь равна 1.
Площадь под кривой между двумя значениями равна доле значений между ними.
Реальные данные бывают лишь приблизительно нормальными; сначала проверь форму.

Источники курса (7)

OpenStax, Introductory Statistics 2e by Barbara Illowsky and Susan Dean (, per the page notice on 2026-10-17): 2.2 frequency tables, relative and cumulative frequency, frequency polygons (calculus final test scores 5, 10, 30, 40, 15; ages of US presidents at inauguration in six classes)
the 100 soccer player heights, the 50 students' books, the 25 classmates' weekend video game hours and the 22 New York restaurant staff counts (openstax.org/books/introductory-statistics-2e/pages/2-2-histograms-frequency-polygons-and-time-series-graphs)
6.1 the standard normal distribution, z-scores, the empirical rule, X ~ N(5, 6)
heights of Chilean males aged 15 to 18 N(170, 6.28) for 2009 to 2010 and N(172.36, 6.34) for 1984 to 1985, SAT verbal 2012 N(496, 114) with 1,664,479 test takers, Jerome N(16, 4) (openstax.org/books/introductory-statistics-2e/pages/6-1-the-standard-normal-distribution)
De Moivre and the normal approximation to coin flips: D. Lane, Online Statistics Education, 7.2 History of the Normal Distribution (stats.libretexts.org, Introductory Statistics (Lane) 7.2)
EBSCO Research Starters, "De Moivre Describes the Bell-Shaped Curve" (1733)
Quetelet's chest measurements of 5,738 Scottish militiamen (Quetelet 1846, from an 1817 source; Stigler 1986 corrections): R package HistData, ChestSizes and ChestStigler (vincentarelbundock.github.io/Rdatasets/doc/HistData/ChestSizes.html).

Проверено: 2026-10-17