정규분포 곡선

케틀레의 가슴둘레 5,738개는 평균 39.83인치, 표준편차 2.05인치입니다. 이 두 숫자로 만든 정규분포 곡선은 40인치를 1,102명으로 예측하고, 실제 표에는 1,079명이 있습니다.

키나 시험 점수, 같은 것을 여러 번 되풀이해 쟀을 때 생기는 오차처럼, 우리가 재는 많은 양들은 똑같은 종 모양으로 쌓이는 경우가 많습니다. 값들은 대부분 가운데 가까이에 모여 있고, 양쪽으로 갈수록 점점 줄어들며, 왼쪽과 오른쪽이 서로 거울에 비춘 것처럼 닮았습니다. 이런 모양을 나타내는 매끈한 곡선을 정규분포 곡선이라고 부르고, 이 곡선을 따르는 변수는 정규분포를 따른다고 합니다. 정규분포는 통계에서 가장 많이 쓰는 모형입니다.

두 숫자가 곡선을 정합니다

어떤 정규분포 곡선이든 숫자 두 개만 알면 모양과 자리가 정해집니다. 평균 μ는 봉우리가 어디에 서는지를 정하고, 표준편차 σ는 종이 얼마나 넓은지를 정합니다. OpenStax는 이것을 줄여서 X ~ N(μ, σ)로 씁니다. μ를 바꾸면 곡선 전체가 모양은 하나도 바뀌지 않은 채 축을 따라 옆으로 미끄러집니다. 반면에 σ를 바꾸면 곡선이 옆으로 늘어나거나 좁게 줄어듭니다. σ가 커지면 종이 더 낮고 더 넓어집니다. 그 까닭은 어떤 정규분포 곡선이든 곡선 아래의 넓이가 모두 정확히 1이기 때문입니다. 정규분포 곡선은 μ를 중심으로 좌우 대칭이므로, 평균과 중앙값과 최빈값이 모두 같은 수가 됩니다. 곡선은 μ − σ와 μ + σ에서 아래로 굽던 모양이 위로 굽는 모양으로 바뀌는데, 이 성질은 그림에서 σ가 어디인지 찾을 때 쓸모가 있습니다.

넓이는 비율

상대도수로 그린 히스토그램에서는, 어떤 범위에 든 값들이 전체에서 차지하는 몫이 그 범위 위에 선 막대들의 넓이와 같습니다. 정규분포 곡선도 똑같은 방식으로 읽습니다. 두 값 사이에서 곡선 아래의 넓이는 그 두 값 사이에 든 모집단의 비율이고, 동시에 모집단에서 무작위로 값 하나를 골랐을 때 그 값이 그 사이에 들 확률이기도 합니다. 곡선이 대칭이므로 μ 왼쪽에 있는 넓이는 정확히 0.5입니다. 그 밖의 다른 범위의 넓이는 표를 보거나 계산기로 구합니다. 이 단원의 실험실은 그 넓이를 대신 계산해서 아래 칸에 적어 보여 줍니다.

법칙이 아니라 모형

실제 자료 가운데 정확히 정규분포인 것은 하나도 없습니다. 예를 들어 가슴둘레는 인치 단위로 끊어져 있는데 곡선은 매끈하게 이어져 있고, 곡선의 꼬리는 끝없이 0에 다가가기만 하는데 가슴둘레에는 가장 작은 값과 가장 큰 값이 있으며, 실제 도수는 곡선 둘레에서 위아래로 출렁입니다. 그래서 통계학자들은 평균과 표준편차가 자료와 같은 정규분포 곡선이 지금 묻는 질문에 답하기에 충분할 만큼 잘 맞으면, 그 분포를 「근사적으로 정규분포」라고 부릅니다. 하지만 식당 직원 수처럼 한쪽으로 치우친 자료는 근사적으로도 정규분포라고 할 수 없습니다. 그런 자료에 정규분포 곡선을 써서 답을 내면 크게 빗나갈 수 있습니다.