La courbe normale

Les 5738 tours de poitrine de Quetelet ont une moyenne de 39.83 pouces et un écart-type de 2.05 ; une courbe normale avec ces paramètres prévoit 1102 hommes à 40 pouces, contre 1079 dans le tableau.

De nombreuses grandeurs mesurées, des tailles aux notes en passant par les erreurs de mesures répétées, forment la même cloche : beaucoup de valeurs au centre, de moins en moins vers les côtés, et deux côtés en miroir. La courbe régulière qui décrit cette forme s'appelle la courbe normale ; une variable qui la suit possède une distribution normale. C'est le modèle le plus utilisé en statistique.

Deux nombres déterminent la courbe

Chaque courbe normale est fixée par deux nombres. La moyenne μ positionne le sommet ; l'écart-type σ règle la largeur de la cloche. OpenStax note X ~ N(μ, σ). Changer μ fait glisser toute la courbe sans modifier sa forme. Changer σ l'étire ou la resserre : un σ plus grand donne une cloche plus basse et plus large, car l'aire totale sous toute courbe normale vaut exactement 1. La courbe est symétrique autour de μ ; moyenne, médiane et mode sont donc égaux. La courbure change de sens en μ − σ et μ + σ, ce qui permet de repérer σ sur un dessin.

L'aire représente une proportion

Dans un histogramme de fréquences relatives, la proportion des valeurs d'un intervalle correspond à l'aire des rectangles sur cet intervalle. Une courbe normale fonctionne de même. L'aire sous la courbe entre deux valeurs représente la proportion de la population entre elles, et donc la probabilité qu'une valeur choisie au hasard s'y trouve. L'aire à gauche de μ vaut exactement 0.5, par symétrie. Pour les autres intervalles, on utilise une table ou une calculatrice ; le laboratoire calcule ces aires et les affiche dans le panneau.

Un modèle, pas une loi

Aucun ensemble de données réelles n'est exactement normal. Les tours de poitrine sont mesurés en pouces entiers, alors que la courbe est continue ; ses queues ne touchent jamais vraiment zéro, tandis que les tours de poitrine ont un minimum et un maximum ; enfin, les effectifs fluctuent autour de la courbe. Les statisticiens parlent de distribution « approximativement normale » quand une courbe de même moyenne et de même écart-type convient assez bien à la question étudiée. Des données asymétriques, comme les effectifs des restaurants, ne sont pas approximativement normales, et les réponses tirées de la courbe normale peuvent être très éloignées de la réalité.