Tableaux d'effectifs

Dans un exemple d'OpenStax, 16 élèves sur 50 ont acheté trois livres : la fréquence relative de « trois livres » vaut donc 16 ÷ 50 = 0.32.

Une distribution indique deux choses sur une variable : les valeurs qu'elle prend et le nombre de fois où chacune apparaît. Le moyen le plus simple de la décrire est un tableau d'effectifs. Une colonne donne les valeurs ou les classes ; la suivante compte leurs apparitions. Tout le reste de ce cours, des histogrammes à la courbe normale, sert à représenter ou à résumer un tel tableau.

Effectif, fréquence relative et effectif cumulé

OpenStax a demandé à 50 étudiants à temps partiel combien de livres ils avaient achetés. Onze en ont acheté un, 10 en ont acheté deux, 16 trois, 6 quatre, 5 cinq et 2 six. Ces nombres sont les effectifs, dont la somme vaut 50. En les divisant par 50, on obtient les fréquences relatives 0.22, 0.20, 0.32, 0.12, 0.10 et 0.04, de somme 1. Les sommes successives donnent les effectifs cumulés 11, 21, 37, 43, 48 et 50. Les colonnes cumulées répondent d'un coup d'œil aux questions « combien au maximum ? » : 37 étudiants sur 50, soit 74%, ont acheté trois livres ou moins.

Données regroupées

Quand les valeurs sont nombreuses et variées, le tableau présente des classes plutôt que des valeurs isolées. OpenStax donne les notes de 100 étudiants à un examen final d'analyse, regroupées par dizaines : 5 étudiants entre 49.5 et 59.5, 10 entre 59.5 et 69.5, 30 entre 69.5 et 79.5, 40 entre 79.5 et 89.5 et 15 entre 89.5 et 99.5. Les effectifs cumulés sont 5, 15, 45, 85 et 100 : 85 étudiants ont donc eu moins de 89.5. Le regroupement fait perdre des détails : le tableau seul ne dit pas si les cinq notes les plus basses étaient 50 ou 59. C'est le prix d'un résumé court.

Polygones des effectifs

Un polygone des effectifs représente le même tableau par des points reliés. Chaque point est placé au milieu d'une classe, à la hauteur de son effectif, et l'on ajoute une classe vide à chaque extrémité pour ramener la ligne sur l'axe. OpenStax utilise ces polygones pour superposer deux distributions, par exemple les notes à l'examen d'analyse et les notes finales des étudiants : deux contours se lisent mieux en superposition que deux séries de rectangles.

Un autre tableau : l'âge des présidents

OpenStax regroupe aussi les âges des présidents américains lors de leur entrée en fonction en six classes de cinq ans : de 41.5 à 46.5, 4 présidents ; de 46.5 à 51.5, 11 ; de 51.5 à 56.5, 14 ; de 56.5 à 61.5, 9 ; de 61.5 à 66.5, 4 ; et de 66.5 à 71.5, 2, soit 44 au total. La classe la plus peuplée, de 51.5 à 56.5, en contient 14 ÷ 44 ≈ 0.318. Remarque les bornes aux demi-années : les âges étant entiers, aucun président ne tombe sur une borne.

Comparer des groupes de tailles différentes

Les fréquences relatives sont utiles quand les groupes n'ont pas la même taille. Dans un exemple inventé, supposons que 12 élèves sur 40 dans une classe et 15 sur 60 dans une autre aient obtenu plus de 90. La seconde classe compte davantage de bonnes notes, 15 contre 12, mais leur proportion y est plus faible : 15 ÷ 60 = 0.25 contre 12 ÷ 40 = 0.30. Les effectifs répondent à « combien ? », les fréquences relatives à « quelle proportion ? ». Avant de comparer deux tableaux, choisis ta question et vérifie que les effectifs de chacun donnent bien le total annoncé.