La règle 68-95-99.7
Les Chiliens de 15 à 18 ans en 2009 à 2010 mesuraient en moyenne 170 cm, avec un écart-type de 6.28 cm : environ 95% mesuraient donc entre 157.44 et 182.56 cm.
Toutes les courbes normales, quels que soient leur largeur et leur emplacement, ont les mêmes aires quand on mesure la distance à la moyenne en écarts-types. D'où une règle facile à retenir : environ 68% des valeurs se trouvent à moins d'un écart-type de la moyenne, environ 95% à moins de deux et environ 99.7% à moins de trois. OpenStax l'appelle la règle empirique ; on dit aussi simplement règle 68-95-99.7.
À moins d'un écart-type de la moyenne : environ 68%. À moins de deux : environ 95%. À moins de trois : environ 99.7%.
L'appliquer à des valeurs réelles
OpenStax décrit les tailles des Chiliens de 15 à 18 ans en 2009 à 2010 par N(170, 6.28), en centimètres. À un écart-type de part et d'autre de la moyenne, l'intervalle va de 170 − 6.28 = 163.72 à 170 + 6.28 = 176.28 cm et contient environ 68% de ces jeunes hommes. À deux écarts-types, il va de 157.44 à 182.56 cm et couvre environ 95%. À trois, de 151.16 à 188.84 cm, il couvre environ 99.7%, laissant seulement 3 personnes sur 1000 à l'extérieur. Pour le même groupe en 1984 à 1985, N(172.36, 6.34), le livre donne les intervalles de 166.02 à 178.7, de 159.68 à 185.04 et de 153.34 à 191.38 cm.
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Valeurs exactes et queues
La règle utilise des arrondis. Les aires exactes valent 68.27%, 95.45% et 99.73%. Par symétrie, l'aire hors d'une bande se partage également entre les deux queues. Hors d'un écart-type se trouvent 31.73% des valeurs : 15.87% au-dessus de μ + σ et 15.87% sous μ − σ. Au-dessus de μ + 2σ se trouvent environ 2.28%. Entre un et deux écarts-types au-dessus de la moyenne, la proportion vaut 95.45% ÷ 2 − 68.27% ÷ 2 ≈ 13.59%. Ces quelques nombres permettent de répondre à bien des questions sans table.
Comparer la règle aux données réelles
Les 5738 tours de poitrine de Quetelet ont une moyenne de 39.83 et un écart-type de 2.05 pouces. Un comptage direct donne 66.8% des hommes à moins d'un écart-type de la moyenne, 95.3% à moins de deux et 99.5% à moins de trois. Ces résultats sont proches de 68, 95 et 99.7, autre façon de dire que les données sont approximativement normales. La règle ne s'applique pas aux données asymétriques. Pour des temps d'attente à longue queue droite, la proportion à moins d'un écart-type peut être très loin de 68% ; tu le verras dans la dernière unité.
Repérer les valeurs inhabituelles et remonter aux paramètres
La règle indique aussi la rareté d'une valeur. Hors de deux écarts-types se trouvent 4.55% d'une population normale, environ 1 valeur sur 22 ; hors de trois, 0.27%, environ 1 sur 370. Un Chilien de 15 à 18 ans mesurant 190 cm en 2009 à 2010 a z = (190 − 170) ÷ 6.28 ≈ 3.18 : cette taille est rare dans ce groupe. On peut aussi utiliser la règle à rebours. OpenStax décrit un examen d'entrée à l'université de moyenne 52 et d'écart-type 11 : environ 68% des notes sont entre 41 et 63, 95% entre 30 et 74 et 99.7% entre 19 et 85. Si l'on connaît seulement l'intervalle des 68%, son milieu donne la moyenne et sa demi-largeur l'écart-type.
| À moins de 1σ | Environ 68% (68.27%) |
| À moins de 2σ | Environ 95% (95.45%) |
| À moins de 3σ | Environ 99.7% (99.73%) |
| Au-dessus de μ + σ | Environ 16% (15.87%) |
| Au-dessus de μ + 2σ | Environ 2.5% (2.28%) |
- N(170, 6.28) : borne inférieure de l'intervalle des 68% ?
- N(170, 6.28) : borne supérieure de l'intervalle des 95% ?
- N(172.36, 6.34) : borne inférieure de l'intervalle des 99.7% ?
- N(50, 6) : environ 95% des valeurs sont entre 38 et quelle valeur ?
- Environ quel pourcentage d'une population normale est au-dessus de μ + σ ? (deux décimales)
- Pourcentage entre μ + σ et μ + 2σ ? (deux décimales)
- Sur 1000 valeurs d'une distribution normale, combien environ sont à plus de 3σ de la moyenne ?
- Tours de poitrine de Quetelet (moyenne 39.83, s 2.05) : borne inférieure de l'intervalle à 2σ, à deux décimales ?
- Le comptage donne 66.8%, 95.3% et 99.5%. Que suggèrent ces résultats ?
- Les données sont approximativement normales
- Les données sont asymétriques
- La règle est fausse
- Il n'y a que des valeurs aberrantes
- La règle 68-95-99.7 s'applique-t-elle à des données fortement asymétriques ?
- Oui, à toutes les données
- Non, elle concerne les données approximativement normales
- Seulement pour 99.7
- Seulement pour les petits échantillons
- Environ 68%, 95% et 99.7% d'une distribution normale sont à moins de 1, 2 et 3 écarts-types de la moyenne.
- Valeurs exactes : 68.27%, 95.45%, 99.73% ; le reste se partage également entre les queues.
- Utilise cette règle seulement pour des données approximativement normales.
Sources de ce cours (7)
- OpenStax, Introductory Statistics 2e by Barbara Illowsky and Susan Dean (, per the page notice on 2026-10-17): 2.2 frequency tables, relative and cumulative frequency, frequency polygons (calculus final test scores 5, 10, 30, 40, 15; ages of US presidents at inauguration in six classes)
- the 100 soccer player heights, the 50 students' books, the 25 classmates' weekend video game hours and the 22 New York restaurant staff counts (openstax.org/books/introductory-statistics-2e/pages/2-2-histograms-frequency-polygons-and-time-series-graphs)
- 6.1 the standard normal distribution, z-scores, the empirical rule, X ~ N(5, 6)
- heights of Chilean males aged 15 to 18 N(170, 6.28) for 2009 to 2010 and N(172.36, 6.34) for 1984 to 1985, SAT verbal 2012 N(496, 114) with 1,664,479 test takers, Jerome N(16, 4) (openstax.org/books/introductory-statistics-2e/pages/6-1-the-standard-normal-distribution)
- De Moivre and the normal approximation to coin flips: D. Lane, Online Statistics Education, 7.2 History of the Normal Distribution (stats.libretexts.org, Introductory Statistics (Lane) 7.2)
- EBSCO Research Starters, "De Moivre Describes the Bell-Shaped Curve" (1733)
- Quetelet's chest measurements of 5,738 Scottish militiamen (Quetelet 1846, from an 1817 source; Stigler 1986 corrections): R package HistData, ChestSizes and ChestStigler (vincentarelbundock.github.io/Rdatasets/doc/HistData/ChestSizes.html).
Consulté le: 2026-10-17