Scores z
Au SAT de 2012, les notes de la partie verbale avaient une moyenne de 496 et un écart-type de 114 : une note de 325 donne donc z = (325 − 496) ÷ 114 = −1.5.
Une valeur brute seule ne dit pas grand-chose. Est-on grand à 168 cm ? Un match à 10 points est-il bon ? Cela dépend des valeurs habituelles du groupe et de leur dispersion. Le score z répond aux deux questions : il indique de combien d'écarts-types une valeur dépasse la moyenne ou lui est inférieure, ce qui permet de comparer des mesures sur des échelles très différentes.
La formule
Le score z d'une valeur x dans une distribution de moyenne μ et d'écart-type σ est z = (x − μ) ÷ σ. Un z positif signifie que x dépasse la moyenne ; un z négatif, qu'il lui est inférieur ; z = 0 signifie que x égale la moyenne. En inversant, x = μ + zσ. Le premier exemple d'OpenStax est X ~ N(5, 6) et x = 17 : z = (17 − 5) ÷ 6 = 2, donc 17 est à deux écarts-types au-dessus de la moyenne. Pour x = 1 dans la même distribution, z = (1 − 5) ÷ 6 ≈ −0.67.
Comparer des échelles différentes
OpenStax compare deux groupes cherchant à prendre du poids en six semaines : X ~ N(5, 6) et Y ~ N(2, 1), en livres. Une prise de 17 dans le premier et de 4 dans le second semble très différente, mais les deux ont z = 2. Par rapport à leur groupe, elles sont tout aussi inhabituelles. La méthode fonctionne aussi pour les tailles selon les époques. Les Chiliens de 15 à 18 ans avaient N(170, 6.28) en 2009 à 2010 et N(172.36, 6.34) en 1984 à 1985. Une taille de 160.58 cm à la première époque et de 162.85 cm à la seconde donnent toutes deux z = −1.5.
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Du score z au percentile
Pour une distribution normale, le score z détermine l'aire à gauche, donc le percentile. z = 0 correspond au 50e percentile. Avec z = 1, environ 84.13% des valeurs sont en dessous. Avec z = −1.5, environ 6.68% sont en dessous : la note de 325 au SAT ne dépasserait donc qu'environ 6.7% des notes, si elles étaient normales. Le SAT de 2012 comptait 1 664 479 candidats ; environ 15.87%, soit quelque 264 000 étudiants, auraient donc dépassé 496 + 114 = 610. Un Chilien de 168 cm en 2009 à 2010 a z = (168 − 170) ÷ 6.28 ≈ −0.32, entre les 37e et 38e percentiles. Le laboratoire affiche ces aires quand tu déplaces x.
Scores z pour des données non normales
On peut calculer un score z pour n'importe quelle valeur d'un ensemble de données : il indique toujours la distance à la moyenne en écarts-types. C'est le lien avec les percentiles qui change. Pour les heures de jeu, le camarade qui a joué 0 heure a z ≈ −2.24. Mais avec seulement 25 valeurs et une asymétrie à gauche, les 1.2% donnés sous ce point par la table normale signifient peu : en réalité, 1 valeur sur 25, soit 4%, est inférieure ou égale à ce point. Utilise librement z pour comparer les positions dans un groupe, mais réserve les percentiles normaux aux formes proches d'une cloche.
| Score z | (x − μ) ÷ σ : distance à la moyenne en écarts-types |
| Revenir à x | x = μ + zσ |
| z = 0 | La valeur égale la moyenne ; 50e percentile |
| z = 1 | Environ 84% en dessous |
| z = −1.5 | Environ 6.7% en dessous |
| Normale centrée réduite | N(0, 1), distribution des scores z |
- X ~ N(12, 3) et x = 1. Valeur de z à deux décimales ?
- Jerome marque en moyenne 16 points, avec σ = 4. Quel z pour un match à 10 points ?
- Perte de poids X ~ N(5, 2) livres. Quel z pour une perte de 10 livres ?
- Même X ~ N(5, 2). Quel z pour une prise de 3 livres (x = −3) ?
- N(170, 6.28) : taille correspondant à z = 1.27, à deux décimales ?
- N(170, 6.28) : taille correspondant à z = −2 ?
- SAT 2012 N(496, 114) : z de 366.21, à deux décimales ?
- Pourcentage d'une population normale sous z = 1.5 ? (deux décimales)
- x = 17 dans N(5, 6) et y = 4 dans N(2, 1). Quelle valeur est la plus inhabituelle dans son groupe ?
- x = 17
- y = 4
- Aussi inhabituelles l'une que l'autre
- Impossible à dire
- Un score z de −0.32 signifie que la valeur se situe...
- 0.32 écart-type au-dessus de la moyenne
- 0.32 écart-type sous la moyenne
- 32% en dessous
- 32 unités en dessous
- z = (x − μ) ÷ σ donne la distance à la moyenne en écarts-types ; x = μ + zσ.
- Des scores z égaux signalent des valeurs tout aussi inhabituelles, même sur des échelles différentes.
- Pour des données normales, z détermine le percentile : z = 1 correspond environ au 84e, z = −1.5 au 7e.
Sources de ce cours (7)
- OpenStax, Introductory Statistics 2e by Barbara Illowsky and Susan Dean (, per the page notice on 2026-10-17): 2.2 frequency tables, relative and cumulative frequency, frequency polygons (calculus final test scores 5, 10, 30, 40, 15; ages of US presidents at inauguration in six classes)
- the 100 soccer player heights, the 50 students' books, the 25 classmates' weekend video game hours and the 22 New York restaurant staff counts (openstax.org/books/introductory-statistics-2e/pages/2-2-histograms-frequency-polygons-and-time-series-graphs)
- 6.1 the standard normal distribution, z-scores, the empirical rule, X ~ N(5, 6)
- heights of Chilean males aged 15 to 18 N(170, 6.28) for 2009 to 2010 and N(172.36, 6.34) for 1984 to 1985, SAT verbal 2012 N(496, 114) with 1,664,479 test takers, Jerome N(16, 4) (openstax.org/books/introductory-statistics-2e/pages/6-1-the-standard-normal-distribution)
- De Moivre and the normal approximation to coin flips: D. Lane, Online Statistics Education, 7.2 History of the Normal Distribution (stats.libretexts.org, Introductory Statistics (Lane) 7.2)
- EBSCO Research Starters, "De Moivre Describes the Bell-Shaped Curve" (1733)
- Quetelet's chest measurements of 5,738 Scottish militiamen (Quetelet 1846, from an 1817 source; Stigler 1986 corrections): R package HistData, ChestSizes and ChestStigler (vincentarelbundock.github.io/Rdatasets/doc/HistData/ChestSizes.html).
Consulté le: 2026-10-17