z-scores

Bij de SAT van 2012 hadden de verbale scores gemiddelde 496 en standaardafwijking 114. Een score van 325 heeft dus z = (325 − 496) ÷ 114 = −1.5.

Een ruwe score zegt op zichzelf weinig. Is 168 cm lang? Zijn 10 punten goed in een wedstrijd? Dat hangt af van wat normaal is voor de groep en hoe groot de spreiding is. Met een z-score beantwoord je beide tegelijk. Je ziet hoeveel standaardafwijkingen een waarde boven of onder het gemiddelde ligt. Zo kun je waarden op volkomen verschillende schalen vergelijken.

De formule

Voor een waarde x uit een verdeling met gemiddelde μ en standaardafwijking σ is de z-score z = (x − μ) ÷ σ. Een positieve z betekent dat x boven het gemiddelde ligt, een negatieve z eronder en z = 0 dat x gelijk is aan het gemiddelde. Omgekeerd geldt x = μ + zσ. Het eerste voorbeeld van OpenStax is X ~ N(5, 6) en x = 17: z = (17 − 5) ÷ 6 = 2. Dus 17 ligt twee standaardafwijkingen boven het gemiddelde. Voor x = 1 in dezelfde verdeling geldt z = (1 − 5) ÷ 6 ≈ −0.67.

Verschillende schalen vergelijken

OpenStax vergelijkt twee groepen die in zes weken willen aankomen: X ~ N(5, 6) en Y ~ N(2, 1), in pond. Een toename van 17 in de eerste groep en 4 in de tweede lijken heel verschillend, maar beide hebben z = 2. Binnen hun eigen groep zijn ze even ongebruikelijk. Hetzelfde werkt voor lengtes uit verschillende decennia. Bij Chileense jongens van 15 tot 18 jaar gold in 2009 tot 2010 N(170, 6.28), en in 1984 tot 1985 N(172.36, 6.34). Een lengte van 160.58 cm in de eerste periode en 162.85 cm in de tweede hebben beide z = −1.5.

Van z naar een percentiel

Bij een normale verdeling bepaalt de z-score de oppervlakte links ervan, en daarmee het percentiel. z = 0 is het 50e percentiel. Onder z = 1 ligt ongeveer 84.13%. Onder z = −1.5 ligt ongeveer 6.68%. De SAT-score 325 was dus hoger dan slechts ongeveer 6.7% van de scores, als die normaal verdeeld waren. In 2012 waren er 1 664 479 SAT-deelnemers. Ongeveer 15.87%, zo'n 264 000 studenten, zou dus boven 496 + 114 = 610 hebben gescoord. Een Chileense jongen van 168 cm in 2009 tot 2010 heeft z = (168 − 170) ÷ 6.28 ≈ −0.32, tussen het 37e en 38e percentiel. In de simulatie lees je deze oppervlakten af terwijl je x verplaatst.

z-scores voor niet-normale gegevens

Je kunt voor elke waarde uit elke gegevensverzameling een z-score berekenen. Die vertelt nog steeds hoeveel standaardafwijkingen de waarde van het gemiddelde ligt. Wat verandert, is het verband met percentielen. De klasgenoot die 0 uur gamede heeft z ≈ −2.24. Maar bij slechts 25 waarden en een linksscheve vorm zegt de 1.2% onder dat punt uit de normale tabel weinig. In werkelijkheid ligt 1 van de 25 waarden, 4%, op of onder dat punt. Gebruik z gerust om posities binnen een groep te vergelijken. Gebruik percentielen van de normale kromme alleen bij een vorm die ongeveer klokvormig is.