z得点
2012年のSAT言語分野は平均496、標準偏差114なので、325点ならz = (325 − 496) ÷ 114 = −1.5です。
値だけではあまり分かりません。168 cmは高いのでしょうか。試合で10点は好成績でしょうか。答えは、その集団の普通の値と広がりによります。z得点は両方を一度に考慮します。値が平均値より標準偏差いくつ分上か下かを示し、全く違う尺度の値を比較できます。
公式
平均値μ、標準偏差σの分布の値xのz得点は、z = (x − μ) ÷ σです。正なら平均値より上、負なら下で、z = 0なら平均値と等しくなります。逆にするとx = μ + zσです。OpenStaxの最初の例はX ~ N(5, 6)、x = 17で、z = (17 − 5) ÷ 6 = 2です。17は平均値より標準偏差二つ分上です。同じ分布でx = 1なら、z = (1 − 5) ÷ 6 ≈ −0.67です。
違う尺度で比較する
OpenStaxでは六週間で体重を増やす二集団を、ポンド単位のX ~ N(5, 6)とY ~ N(2, 1)で比較します。一方の17ポンド増と他方の4ポンド増は大きく違って見えますが、どちらもz = 2です。各集団内では同じ程度に珍しい値です。年代の異なる身長にも使えます。チリの15〜18歳男性は2009年から2010年にN(170, 6.28)、1984年から1985年にN(172.36, 6.34)でした。前者の160.58 cmと後者の162.85 cmは、どちらもz = −1.5です。
ドラッグで回転、スクロールまたはピンチで拡大・縮小。
zからパーセンタイルへ
正規分布ではz得点で左側の面積、つまりパーセンタイルが決まります。z = 0は第50パーセンタイル、z = 1より下は約84.13%、z = −1.5より下は約6.68%です。正規分布ならSATの325点は約6.7%の得点を上回るだけです。2012年の受験者は1,664,479人なので、約15.87%、およそ264,000人が496 + 114 = 610点を超えた計算です。2009年から2010年のチリの男性で168 cmなら、z = (168 − 170) ÷ 6.28 ≈ −0.32で、第37〜38パーセンタイルの間です。実験画面ではxを動かすと面積を表示します。
正規分布でないデータのz得点
どんなデータの値でもz得点を計算でき、平均値から標準偏差いくつ分離れているかを示します。変わるのはパーセンタイルとの関係です。ゲーム時間0の同級生はz ≈ −2.24ですが、値は25個しかなく左に裾が長いため、正規分布表の「この点より下は1.2%」にはあまり意味がありません。実際には25個中1個、4%がその値以下です。集団内の位置の比較にはzを使えますが、正規曲線のパーセンタイルは形が釣鐘に近いときだけ使います。
| z得点 | (x − μ) ÷ σ：平均値から標準偏差いくつ分離れているか |
| xに戻す | x = μ + zσ |
| z = 0 | 平均値と等しく、第50パーセンタイルです |
| z = 1 | 約84%がこの値より下です |
| z = −1.5 | 約6.7%がこの値より下です |
| 標準正規分布 | N(0, 1)、z得点の分布 |
- X ~ N(12, 3)、x = 1のとき、zを小数第2位まで求めてください。
- ジェロームは平均16点、σ = 4です。10点の試合のzは？
- 減量がポンド単位でX ~ N(5, 2)に従います。10ポンド減のzは？
- 同じX ~ N(5, 2)で、3ポンド増（x = −3）のzは？
- N(170, 6.28)で、z = 1.27の身長を小数第2位まで求めてください。
- N(170, 6.28)で、z = −2の身長は？
- 2012年のSAT N(496, 114)で、366.21点のzを小数第2位まで求めてください。
- 正規母集団でz = 1.5未満は何%ですか？（小数第2位まで）
- N(5, 6)のx = 17とN(2, 1)のy = 4では、集団内でより珍しいのはどちらですか？
- x = 17
- y = 4
- 同じ程度に珍しい
- 判断できない
- z得点−0.32は、どんな値を意味しますか？
- 平均値より標準偏差0.32個分上
- 平均値より標準偏差0.32個分下
- 32%下
- 32単位下
- z = (x − μ) ÷ σは平均値から標準偏差いくつ分かを表し、x = μ + zσです。
- z得点が等しければ、尺度が違っても同じ程度に珍しい値です。
- 正規分布ならzでパーセンタイルが決まり、z = 1は約第84、z = −1.5は約第7パーセンタイルです。
このコースの出典 (7)
- OpenStax, Introductory Statistics 2e by Barbara Illowsky and Susan Dean (, per the page notice on 2026-10-17): 2.2 frequency tables, relative and cumulative frequency, frequency polygons (calculus final test scores 5, 10, 30, 40, 15; ages of US presidents at inauguration in six classes)
- the 100 soccer player heights, the 50 students' books, the 25 classmates' weekend video game hours and the 22 New York restaurant staff counts (openstax.org/books/introductory-statistics-2e/pages/2-2-histograms-frequency-polygons-and-time-series-graphs)
- 6.1 the standard normal distribution, z-scores, the empirical rule, X ~ N(5, 6)
- heights of Chilean males aged 15 to 18 N(170, 6.28) for 2009 to 2010 and N(172.36, 6.34) for 1984 to 1985, SAT verbal 2012 N(496, 114) with 1,664,479 test takers, Jerome N(16, 4) (openstax.org/books/introductory-statistics-2e/pages/6-1-the-standard-normal-distribution)
- De Moivre and the normal approximation to coin flips: D. Lane, Online Statistics Education, 7.2 History of the Normal Distribution (stats.libretexts.org, Introductory Statistics (Lane) 7.2)
- EBSCO Research Starters, "De Moivre Describes the Bell-Shaped Curve" (1733)
- Quetelet's chest measurements of 5,738 Scottish militiamen (Quetelet 1846, from an 1817 source; Stigler 1986 corrections): R package HistData, ChestSizes and ChestStigler (vincentarelbundock.github.io/Rdatasets/doc/HistData/ChestSizes.html).
確認日: 2026-10-17