z-Werte

Beim SAT 2012 hatten die sprachlichen Testergebnisse den Mittelwert 496 und die Standardabweichung 114. Ein Ergebnis von 325 hat daher z = (325 − 496) ÷ 114 = −1.5.

Ein einzelner Messwert sagt wenig aus. Sind 168 cm groß? Sind 10 Punkte ein gutes Spielergebnis? Das hängt davon ab, was in der jeweiligen Gruppe üblich ist und wie stark ihre Werte streuen. Ein z-Wert beantwortet beides zugleich. Er gibt an, wie viele Standardabweichungen ein Wert über oder unter dem Mittelwert liegt. So kannst du Werte auf ganz unterschiedlichen Skalen vergleichen.

Die Formel

Für einen Wert x aus einer Verteilung mit Mittelwert μ und Standardabweichung σ gilt z = (x − μ) ÷ σ. Ein positives z bedeutet, dass x über dem Mittelwert liegt, ein negatives z bedeutet darunter. Bei z = 0 ist x gleich dem Mittelwert. Umgestellt ergibt sich x = μ + zσ. Das erste Beispiel von OpenStax verwendet X ~ N(5, 6) und x = 17: z = (17 − 5) ÷ 6 = 2. Also liegt 17 zwei Standardabweichungen über dem Mittelwert. Für x = 1 in derselben Verteilung gilt z = (1 − 5) ÷ 6 ≈ −0.67.

Unterschiedliche Skalen vergleichen

OpenStax vergleicht zwei Gruppen, die über sechs Wochen zunehmen wollen: X ~ N(5, 6) und Y ~ N(2, 1), jeweils in Pfund. Eine Zunahme von 17 in der ersten und von 4 in der zweiten Gruppe sieht sehr unterschiedlich aus. Beide haben aber z = 2 und sind innerhalb ihrer Gruppe gleich ungewöhnlich. Genauso lassen sich Körpergrößen über Jahrzehnte vergleichen. Für chilenische männliche Jugendliche von 15 bis 18 Jahren galt 2009 bis 2010 N(170, 6.28) und 1984 bis 1985 N(172.36, 6.34). Eine Größe von 160.58 cm im ersten Zeitraum und 162.85 cm im zweiten hat jeweils z = −1.5.

Vom z-Wert zum Prozentrang

Bei einer Normalverteilung legt der z-Wert die Fläche links davon fest und damit den Prozentrang. z = 0 entspricht dem 50. Perzentil. Unter z = 1 liegen etwa 84.13% der Werte, unter z = −1.5 etwa 6.68%. Das SAT-Ergebnis 325 war also nur besser als etwa 6.7% der Ergebnisse, sofern diese normalverteilt waren. Am SAT 2012 nahmen 1 664 479 Personen teil. Etwa 15.87%, also rund 264 000, hätten demnach mehr als 496 + 114 = 610 Punkte erreicht. Ein chilenischer Jugendlicher mit 168 cm Körpergröße hatte 2009 bis 2010 z = (168 − 170) ÷ 6.28 ≈ −0.32 und lag damit zwischen dem 37. und 38. Perzentil. Das Labor zeigt diese Flächen beim Verschieben von x an.

z-Werte für nicht normalverteilte Daten

Für jeden Wert eines Datensatzes lässt sich ein z-Wert berechnen. Er beschreibt weiterhin den Abstand vom Mittelwert in Standardabweichungen. Anders ist nur der Zusammenhang mit Prozenträngen. Bei den Spielzeiten hat die Person mit 0 Stunden z ≈ −2.24. Bei nur 25 Werten und einer linksschiefen Verteilung sagt der Tabellenwert von 1.2% unterhalb dieser Grenze wenig aus. Tatsächlich liegt 1 der 25 Werte, also 4%, an oder unter dieser Grenze. Du kannst z-Werte zur Einordnung innerhalb einer Gruppe verwenden. Nutze Prozentränge der Normalverteilung aber nur bei annähernder Glockenform.