Stichproben und Stichprobenumfang

Fünf zufällige Körpergrößen aus N(170, 6.28) können eine Standardabweichung von 3.4 cm ergeben. Bei fünftausend liegt sie bis auf wenige Hundertstel bei 6.28.

In der Praxis sehen wir fast nie eine ganze Grundgesamtheit, sondern nur eine Stichprobe. Deren Histogramm ist ein grobes Abbild der Verteilung der Grundgesamtheit. Wie grob, hängt vor allem von einer Zahl ab: dem Stichprobenumfang n. In dieser Einheit ziehst du im Labor Zufallsstichproben beliebiger Größe aus einer bekannten Grundgesamtheit. So siehst du, wie das Abbild mit wachsendem n genauer wird.

Kleine Stichproben sind unregelmäßig

Starte im Labor mit der normalverteilten Grundgesamtheit der Körpergrößen N(170, 6.28) und einer Stichprobe von 20. Klicke mehrmals auf „Neue Stichprobe“. Das Histogramm verändert sich jedes Mal: Einmal neigt es sich nach links, dann hat es eine Lücke in der Mitte. Auch Stichprobenmittelwert x̄ und Standardabweichung s schwanken. Ein für diese Seite simulierter Durchlauf (Zufallsstartwert 7) ergab aus derselben Grundgesamtheit x̄ = 167.72 und s = 3.37 bei n = 5, x̄ = 171.09 und s = 5.74 bei n = 20 sowie x̄ = 170.16 und s = 6.92 bei n = 100. Keines dieser Ergebnisse ist falsch. Solche Schwankungen gehören zu Zufallsstichproben dieser Größe.

Große Stichproben werden stabiler

Erhöhe n auf 1000 und dann auf 5000. Die Balken schmiegen sich an die rote Kurve; x̄ und s schwanken weniger. Im selben Durchlauf ergaben sich bei n = 1000 x̄ = 170.10 und s = 6.11, bei n = 5000 dagegen 169.84 und 6.29. Der typische Abstand von x̄ zu μ nimmt gemäß σ ÷ √n ab. Bei σ = 6.28 sind das etwa 2.81 cm für n = 5, 1.40 cm für n = 20, 0.63 cm für n = 100 und 0.20 cm für n = 1000. Um den typischen Fehler zu halbieren, brauchst du viermal so viele Werte. Der Wahrscheinlichkeitskurs behandelt dieses Wurzelgesetz anhand der Stichprobenverteilung des Mittelwerts genauer.

Die 68-95-99.7-Regel setzt eine Normalverteilung voraus

Das Bedienfeld zeigt auch, welcher Anteil der Stichprobe innerhalb einer, zweier und dreier Standardabweichungen von x̄ liegt. Bei einer normalverteilten Grundgesamtheit und großer Stichprobe nähern sich diese Anteile 68%, 95% und 99.7%. Wechsle nun die Grundgesamtheit. Für die Gleichverteilung von 0 bis 10 gilt σ = 10 ÷ √12 ≈ 2.89. Nur etwa 57.7% der Werte liegen innerhalb eines σ vom Mittelwert, aber alle innerhalb von zwei. Bei rechtsschiefen Wartezeiten mit Mittelwert 5 Minuten liegen die Anteile innerhalb von 1, 2 und 3 σ bei etwa 86.5%, 95.0% und 98.2%. Eine große Stichprobe bildet die vorhandene Form der Grundgesamtheit ab. Sie verwandelt eine schiefe Verteilung nicht in eine Glocke.

Warum an der senkrechten Achse „Dichte“ steht

Im Stichprobenlabor entspricht die Balkenhöhe der relativen Häufigkeit geteilt durch die Klassenbreite. Damit beträgt die gesamte Balkenfläche 1, genau wie die Fläche unter der Kurve der Grundgesamtheit. Balken und Kurve lassen sich so unabhängig vom Stichprobenumfang auf derselben Skala darstellen. Auf einer Achse für absolute Häufigkeiten wären die Balken bei n = 5000 tausendmal höher als bei n = 5. Der Vergleich mit der Kurve wäre nicht mehr möglich.