Campioni e dimensione del campione

Cinque altezze casuali da N(170, 6.28) possono dare una deviazione standard di 3.4 cm; cinquemila danno un valore a pochi centesimi da 6.28.

Nella pratica non osserviamo quasi mai un'intera popolazione. Osserviamo un campione e il suo istogramma è solo una copia approssimativa della distribuzione della popolazione. Quanto approssimativa dipende soprattutto da un numero: la dimensione del campione n. In questa unità userai il laboratorio per estrarre campioni casuali di ogni dimensione da una popolazione nota e vedrai la copia diventare più precisa al crescere di n.

I piccoli campioni sono irregolari

Avvia il laboratorio con la popolazione normale delle altezze, N(170, 6.28), e un campione di 20. Premi Nuovo campione alcune volte. L'istogramma cambia da un campione all'altro: una volta pende a sinistra, un'altra ha un vuoto al centro; cambiano anche la media campionaria x̄ e la deviazione standard s. In una simulazione eseguita per questa pagina (seme casuale 7), la stessa popolazione ha dato x̄ = 167.72 e s = 3.37 per n = 5, x̄ = 171.09 e s = 5.74 per n = 20 e x̄ = 170.16 e s = 6.92 per n = 100. Nessuno di questi risultati è sbagliato. È ciò che accade con campioni casuali di quelle dimensioni.

I grandi campioni si stabilizzano

Porta n a 1000 e poi a 5000. Le barre seguono da vicino la curva rossa e x̄ e s smettono di oscillare tanto: nella stessa simulazione n = 1000 ha dato x̄ = 170.10 e s = 6.11, mentre n = 5000 ha dato 169.84 e 6.29. La distanza tipica di x̄ da μ diminuisce come σ ÷ √n. Per σ = 6.28 vale circa 2.81 cm per n = 5, 1.40 cm per n = 20, 0.63 cm per n = 100 e 0.20 cm per n = 1000. Per dimezzare l'errore tipico servono quattro volte i valori. Il corso di probabilità studia questa legge della radice quadrata attraverso la distribuzione campionaria della media.

La regola 68-95-99.7 richiede una forma normale

Il pannello indica anche quale quota del campione rientra entro una, due e tre deviazioni standard da x̄. Per la popolazione normale e un campione grande queste quote si stabilizzano vicino al 68%, 95% e 99.7%. Ora cambia popolazione. Per la popolazione uniforme da 0 a 10, σ = 10 ÷ √12 ≈ 2.89 e solo il 57.7% circa dei valori rientra entro una σ dalla media, mentre tutti rientrano entro due. Per i tempi di attesa asimmetrici a destra, con media 5 minuti, le quote della popolazione entro 1, 2 e 3 σ sono circa 86.5%, 95.0% e 98.2%. Un grande campione riproduce la forma della popolazione: non trasforma una popolazione asimmetrica in una campana.

Perché l'asse verticale indica la densità

Il laboratorio dei campioni disegna ogni barra con altezza pari alla frequenza relativa divisa per l'ampiezza della classe. Così l'area totale delle barre è 1, come l'area totale sotto la curva della popolazione: barre e curva possono condividere una scala qualunque sia la dimensione del campione. Un asse dei conteggi renderebbe le barre per n = 5000 mille volte più alte di quelle per n = 5, impedendo il confronto con la curva.