표본과 표본 크기

N(170, 6.28)에서 무작위로 뽑은 키 5개는 표준편차가 3.4 cm로 나올 수도 있습니다. 5,000개를 뽑으면 6.28과 몇백분의 일 차이로 나옵니다.

실제로 일을 할 때 우리가 모집단 전체를 볼 수 있는 경우는 거의 없습니다. 우리가 보는 것은 표본이고, 표본으로 그린 히스토그램은 모집단의 분포를 대충 베낀 그림일 뿐입니다. 그 그림이 얼마나 대충인지는 주로 숫자 하나, 바로 표본 크기 n에 달려 있습니다. 이 단원에서는 실험실을 써서, 분포를 이미 알고 있는 모집단에서 원하는 크기의 표본을 무작위로 뽑습니다. 그리고 n이 커지면서 베낀 그림이 또렷해지는 것을 봅니다.

작은 표본은 울퉁불퉁합니다

먼저 실험실을 키의 정규 모집단 N(170, 6.28)과 표본 크기 20으로 놓고 시작하세요. 그다음 「새 표본」 버튼을 몇 번 눌러 봅니다. 그러면 히스토그램이 표본을 새로 뽑을 때마다 이리저리 바뀝니다. 한 번은 왼쪽으로 기울어 있고, 다음 번에는 가운데에 빈틈이 생기며, 표본 평균 x̄와 표준편차 s도 따라 움직입니다. 이 쪽을 만들면서 같은 모집단으로 모의실험을 한 번 해 보았을 때(씨앗값 7) n = 5에서 x̄ = 167.72, s = 3.37, n = 20에서 x̄ = 171.09, s = 5.74, n = 100에서 x̄ = 170.16, s = 6.92가 나왔습니다. 이 가운데 어느 것도 틀린 값이 아닙니다. 그 정도 크기의 무작위 표본은 원래 이렇게 움직입니다.

큰 표본은 자리를 잡습니다

이번에는 n을 1,000으로, 그다음에는 5,000으로 올려 봅니다. 그러면 막대들이 빨간 곡선에 바짝 붙고, x̄와 s도 더 이상 이리저리 헤매지 않습니다. 앞에서 본 같은 실행에서 n = 1,000이면 x̄ = 170.10, s = 6.11, n = 5,000이면 x̄와 s가 각각 169.84와 6.29였습니다. x̄가 μ에서 보통 얼마나 떨어져 있는지를 나타내는 거리는 σ ÷ √n처럼 줄어듭니다. σ = 6.28이면 n = 5에서 약 2.81 cm, n = 20에서 1.40 cm, n = 100에서 0.63 cm, n = 1,000에서 0.20 cm입니다. 그래서 보통의 오차를 절반으로 줄이려면 값이 네 배나 더 필요합니다. 확률 과정에서는 이 제곱근 법칙을 표본 평균의 분포를 가지고 더 자세히 다룹니다.

68-95-99.7 규칙에는 정규 모양이 필요합니다

실험실 아래 칸은 표본의 몇 %가 x̄에서 표준편차 1개, 2개, 3개 거리 안에 드는지도 함께 보여 줍니다. 정규분포를 따르는 모집단에서 큰 표본을 뽑으면 이 값들이 68%, 95%, 99.7% 근처에 자리를 잡습니다. 이제 실험실에서 모집단을 다른 것으로 바꿔 보세요. 예를 들어 0부터 10까지의 고른 분포에서는 σ = 10 ÷ √12 ≈ 2.89이고, 평균에서 σ 하나 안에 드는 값은 약 57.7%뿐이며 2σ 안에는 모두 듭니다. 또 평균이 5분이고 오른쪽 꼬리가 긴 기다리는 시간 모집단에서는 모집단의 1σ, 2σ, 3σ 안 몫이 약 86.5%, 95.0%, 98.2%입니다. 큰 표본은 모집단이 어떤 모양이든 그 모양을 그대로 베낄 뿐이고, 치우친 모집단을 종 모양으로 바꿔 주지 않습니다.

세로축이 밀도인 이유

이 표본 실험실은 막대마다 높이를 그 계급의 상대도수 ÷ 계급 폭으로 그립니다. 그러면 막대 넓이를 모두 더한 값이 1이 되어, 모집단 곡선 아래의 전체 넓이와 같아집니다. 그래서 표본 크기가 얼마이든 막대와 곡선을 같은 눈금 하나 위에 함께 놓을 수 있습니다. 만약 세로축을 도수로 잡으면 n = 5,000일 때의 막대가 n = 5일 때보다 천 배나 높아져서, 막대와 곡선을 비교할 수 없게 됩니다.