분포의 모양

OpenStax 표의 주말 게임 시간 25개는 중앙값이 17.5시간, 평균이 15.55시간입니다. 0 쪽으로 길게 뻗은 꼬리가 평균을 끌어내립니다.

분포를 그림으로 그렸다면, 가장 먼저 설명할 것은 그 분포의 모양입니다. 통계학자들은 모양을 말할 때 몇 안 되는 정해진 낱말을 씁니다. 분포가 대칭인지 한쪽으로 치우쳤는지, 봉우리가 하나인지 둘인지, 그리고 빈틈이나 이상값이 있는지 없는지를 말합니다. 모양이 중요한 까닭은 어떤 요약값을 쓰는 것이 알맞은지를 바로 그 모양이 정하기 때문입니다. 값들이 대칭으로 쌓인 자료에서는 평균이 중심을 나타내기에 좋은 값입니다. 하지만 한쪽으로 쏠려 쌓인 자료에서는 평균이 오히려 오해를 부릅니다.

대칭

대칭인 분포는 중심을 기준으로 양쪽이 대략 같은 모양으로 보입니다. 케틀레가 잰 스코틀랜드 군인 5,738명의 가슴둘레가 대칭 분포의 대표적인 예입니다. 이 자료는 39인치와 40인치에서 가장 높고, 그 양쪽으로 갈수록 줄어듭니다. 평균은 39.83인치이고 중앙값은 40인치로 두 값이 거의 같습니다. 분포가 대칭이면 바로 이렇게 됩니다. OpenStax에 나오는 축구 선수의 키 100개도 마찬가지로 평균 67.26인치, 중앙값 67인치로 대칭에 가깝습니다.

왼쪽 꼬리와 오른쪽 꼬리

치우친 분포는 한쪽으로 긴 꼬리가 늘어져 있습니다. 치우침의 이름은 봉우리가 있는 쪽이 아니라 꼬리가 있는 쪽을 따라 붙입니다. OpenStax에 나오는 뉴욕의 식당 22곳은 직원 수가 15명에서 42명 사이입니다. 그 가운데 절반인 11곳은 직원이 20~29명이고, 직원이 42명까지 되는 큰 식당들이 오른쪽 꼬리를 길게 늘입니다. 이런 분포를 오른쪽 꼬리 분포라고 하며, 평균 28.09명이 중앙값 26.5명보다 큽니다. 같은 반 친구 25명이 주말에 게임을 한 시간은 반대 방향으로 치우쳐 있습니다. 대부분은 15~24시간을 했고, 몇 명은 아주 조금만 했으며, 한 명은 0시간이었습니다. 꼬리는 왼쪽을 향하고, 평균 15.55시간이 중앙값 17.5시간보다 작습니다. 평균은 모든 값 하나하나에 끌려가기 때문에 꼬리 쪽으로 따라갑니다. 반면에 중앙값은 가운데에 있는 자리 하나만 봅니다.

고른 분포와 쌍봉 분포

고른 분포에는 뚜렷한 봉우리가 없습니다. 공정한 주사위를 여러 번 굴렸을 때 나오는 눈처럼, 모든 값이 거의 같은 만큼씩 자주 나옵니다. 쌍봉 분포는 봉우리가 둘인 분포입니다. 이런 모양은 서로 다른 두 집단이 섞여 있다는 신호인 경우가 많습니다. 예를 들어 어른과 어린아이가 함께 있는 방에서 모든 사람의 키를 재면, 두 집단마다 혹이 하나씩 생깁니다. 그리고 이것을 평균 하나로 요약하면 방 안의 누구도 설명하지 못합니다. 그러니 봉우리가 둘 보이면, 먼저 자료를 두 집단으로 나눠야 하는 것은 아닌지 물어보세요.

분포를 한 문장으로

분포를 잘 묘사하려면 네 가지를 말해야 합니다. 바로 모양, 중심, 퍼짐, 그리고 특이한 점입니다. 예를 들어 OpenStax의 키 100개라면 이렇게 쓸 수 있습니다. 봉우리 하나인 대략 대칭 모양이고, 중심은 67인치 근처(평균 67.26, 중앙값 67)이며, 60인치부터 74인치까지 퍼져 있고 표준편차는 약 2.89이며, 평균 과정에서 배운 아래 이상값 울타리 61.125보다 작은 키 작은 선수가 넷(60, 60.5, 61, 61인치) 있습니다. 게임 시간이라면 이렇게 씁니다. 왼쪽 꼬리, 중앙값 17.5시간, 0부터 24까지 퍼짐, 0시간은 평균보다 표준편차 약 2.2개 아래지만 울타리 안쪽입니다. 이런 문장 하나는 평균값 하나가 전할 수 있는 것보다 훨씬 많은 것을 전합니다.