도수분포표

OpenStax 예제의 학생 50명 가운데 16명이 책을 3권 샀습니다. 그래서 「3권」의 상대도수는 16 ÷ 50 = 0.32입니다.

분포는 어떤 변수 하나에 대해 두 가지를 알려 줍니다. 그 변수가 어떤 값들을 갖는지, 그리고 그 값 하나하나가 얼마나 자주 나오는지입니다. 분포를 글로 적어 두는 가장 간단한 방법이 도수분포표입니다. 도수분포표에서는 한 열에 값이나 계급을 적고, 그 옆 열에는 각각이 몇 번 나오는지를 세어 적습니다. 히스토그램부터 정규분포 곡선까지, 이 과정에서 다루는 다른 모든 것은 결국 이런 표를 그림으로 그리거나 몇 개의 수로 요약하는 방법입니다.

도수, 상대도수, 누적도수

OpenStax 교과서에서는 시간제로 다니는 학생 50명에게 책을 몇 권 샀는지 물었습니다. 대답을 세어 보니 1권을 산 학생이 11명, 2권이 10명, 3권이 16명, 4권이 6명, 5권이 5명, 6권이 2명입니다. 이 개수들이 도수이고, 도수를 모두 더하면 학생 수와 같은 50이 됩니다. 도수 하나하나를 전체 50으로 나누면 상대도수 0.22, 0.20, 0.32, 0.12, 0.10, 0.04가 되고, 이 상대도수들을 모두 더하면 1이 됩니다. 도수를 위에서부터 차례로 더해 나가면 누적도수 11, 21, 37, 43, 48, 50이 됩니다. 누적도수 열이 있으면 「많아야 몇 개?」라는 질문에 한눈에 답할 수 있습니다. 예를 들어 50명 가운데 37명, 즉 74%가 3권 이하를 샀다는 것을 바로 읽을 수 있습니다.

묶은 자료

값의 개수가 많고 값도 다양할 때는, 표에 낱낱의 값을 적는 대신 계급을 적습니다. 예를 들어 OpenStax는 학생 100명이 받은 미적분 기말 시험 점수를 10점 단위로 묶어서 보여 줍니다. 49.5~59.5가 5명, 59.5~69.5가 10명, 69.5~79.5가 30명, 79.5~89.5가 40명, 89.5~99.5가 15명입니다. 이 표의 누적도수는 5, 15, 45, 85, 100입니다. 그러므로 100명 가운데 85명이 89.5점보다 낮은 점수를 받았습니다. 하지만 값을 계급으로 묶으면 세부 내용이 사라집니다. 표만 보고는 가장 낮은 다섯 명이 50점이었는지 59점이었는지 알 수 없습니다. 이것이 자료를 짧게 요약할 때 치러야 하는 대가입니다.

도수분포다각형

도수분포다각형은 같은 도수분포표를 막대 대신 점과 선으로 그린 것입니다. 점은 각 계급의 가운데 위에, 그 계급의 도수만큼의 높이에 찍습니다. 그리고 양 끝에 빈 계급을 하나씩 더해 선이 가로축까지 내려오게 합니다. OpenStax는 미적분 시험 점수와 최종 성적처럼 두 분포를 한 그림에 겹칠 때 다각형을 씁니다. 막대 두 묶음을 겹쳐 놓는 것보다 테두리 선 두 개를 겹쳐 놓을 때 두 분포가 더 분명하게 보이기 때문입니다.

표 하나 더: 대통령의 나이

OpenStax는 미국 대통령의 취임 당시 나이도 5세 폭의 계급 6개로 묶습니다. 41.5~46.5가 4명, 46.5~51.5가 11명, 51.5~56.5가 14명, 56.5~61.5가 9명, 61.5~66.5가 4명, 66.5~71.5가 2명으로 모두 44명입니다. 가장 큰 계급인 51.5~56.5에는 전체의 14 ÷ 44 ≈ 0.318이 들어갑니다. 여기서 계급의 경계가 모두 0.5로 끝나는 것을 보세요. 나이는 자연수로 적기 때문에, 이렇게 하면 어떤 대통령도 경계에 걸리지 않습니다.

크기가 다른 집단 비교하기

상대도수는 비교하는 집단들의 크기가 서로 다를 때 제 몫을 합니다. 지어 낸 가상의 예를 들어 보겠습니다. 한 반에서는 40명 중 12명이, 다른 반에서는 60명 중 15명이 90점을 넘었다고 합시다. 둘째 반의 고득점자가 15명 대 12명으로 더 많지만, 비율은 15 ÷ 60 = 0.25로 12 ÷ 40 = 0.30보다 작습니다. 도수는 「몇 명인가?」라는 질문에 답하고, 상대도수는 「얼마나 흔한가?」라는 질문에 답합니다. 그러니 두 표를 비교하기 전에 내가 어느 질문을 하고 있는지 먼저 정하고, 각 표의 도수를 모두 더했을 때 표에 적힌 합계가 나오는지도 확인하세요.