Häufigkeitstabellen

In einem Beispiel von OpenStax kauften 16 von 50 Studierenden drei Bücher. Die relative Häufigkeit von „drei Bücher“ beträgt also 16 ÷ 50 = 0.32.

Eine Verteilung beschreibt zwei Dinge: welche Werte eine Variable annimmt und wie häufig jeder Wert vorkommt. Am einfachsten hältst du das in einer Häufigkeitstabelle fest. Eine Spalte enthält die Werte oder Klassen, die nächste die jeweilige Anzahl. Alles Weitere in diesem Kurs, vom Histogramm bis zur Normalverteilungskurve, stellt solche Tabellen grafisch dar oder fasst sie zusammen.

Absolute, relative und kumulierte Häufigkeit

OpenStax fragte 50 Teilzeitstudierende, wie viele Bücher sie gekauft hatten. Elf kauften ein Buch, 10 zwei, 16 drei, 6 vier, 5 fünf und 2 sechs Bücher. Diese Anzahlen sind die absoluten Häufigkeiten; ihre Summe ist 50. Durch Division durch 50 erhältst du die relativen Häufigkeiten 0.22, 0.20, 0.32, 0.12, 0.10 und 0.04 mit der Summe 1. Fortlaufendes Aufaddieren ergibt die kumulierten Häufigkeiten 11, 21, 37, 43, 48 und 50. So beantwortest du Fragen nach „höchstens“ auf einen Blick: 37 der 50 Studierenden, also 74%, kauften höchstens drei Bücher.

Klassierte Daten

Bei vielen unterschiedlichen Werten führt eine Tabelle Klassen statt einzelner Werte auf. OpenStax zeigt die Ergebnisse von 100 Studierenden in einer Analysis-Abschlussprüfung in Zehnergruppen: 49.5 bis 59.5 umfasst 5 Studierende, 59.5 bis 69.5 umfasst 10, 69.5 bis 79.5 umfasst 30, 79.5 bis 89.5 umfasst 40 und 89.5 bis 99.5 umfasst 15. Die kumulierten Häufigkeiten sind 5, 15, 45, 85 und 100. Also erreichten 85 Studierende weniger als 89.5 Punkte. Beim Klassieren gehen Einzelheiten verloren: Aus der Tabelle allein erkennst du nicht, ob die fünf niedrigsten Ergebnisse bei 50 oder bei 59 lagen. Das ist der Preis der knappen Zusammenfassung.

Häufigkeitspolygone

Ein Häufigkeitspolygon stellt dieselbe Tabelle durch verbundene Punkte dar. Jeder Punkt liegt über einer Klassenmitte auf Höhe der zugehörigen Häufigkeit. An beiden Enden kommt eine leere Klasse hinzu, damit die Linie bis zur Achse reicht. OpenStax vergleicht so zwei Verteilungen in einer Zeichnung, etwa Prüfungsergebnisse und Abschlussnoten. Zwei Linienzüge lassen sich überlagert leichter lesen als zwei Balkensätze.

Noch eine Tabelle: Alter der Präsidenten

OpenStax fasst auch das Alter der US-Präsidenten beim Amtsantritt in sechs Klassen mit jeweils fünf Jahren Breite zusammen: 41.5 bis 46.5 enthält 4 Präsidenten, 46.5 bis 51.5 enthält 11, 51.5 bis 56.5 enthält 14, 56.5 bis 61.5 enthält 9, 61.5 bis 66.5 enthält 4 und 66.5 bis 71.5 enthält 2, insgesamt 44. Die größte Klasse, 51.5 bis 56.5, enthält einen Anteil von 14 ÷ 44 ≈ 0.318. Beachte die Grenzen bei halben Jahren: Da das Alter ganzzahlig angegeben ist, liegt kein Präsident genau auf einer Grenze.

Unterschiedlich große Gruppen vergleichen

Relative Häufigkeiten sind besonders hilfreich, wenn Gruppen unterschiedlich groß sind. Nehmen wir ein erfundenes Beispiel: In einer Klasse erreichen 12 von 40 Lernenden mehr als 90 Punkte, in einer anderen 15 von 60. Die zweite Klasse hat zwar mehr hohe Ergebnisse, 15 gegenüber 12, aber ihr Anteil ist kleiner: 15 ÷ 60 = 0.25 gegenüber 12 ÷ 40 = 0.30. Absolute Häufigkeiten beantworten „Wie viele?“, relative Häufigkeiten „Wie häufig?“. Entscheide vor dem Vergleich, welche Frage du stellst, und prüfe, ob sich die Anzahlen jeder Tabelle zur angegebenen Gesamtzahl addieren.