Formen von Verteilungen

Die 25 Wochenend-Spielzeiten in einer OpenStax-Tabelle haben einen Median von 17.5 Stunden und einen Mittelwert von 15.55: Ein langer Ausläufer in Richtung 0 zieht den Mittelwert nach unten.

Ist eine Verteilung gezeichnet, beschreibst du zuerst ihre Form. Dafür gibt es einige feste Begriffe: symmetrisch oder schief, ein- oder zweigipflig, mit oder ohne Lücken und Ausreißer. Die Form entscheidet darüber, welche Kennzahlen sinnvoll sind. Bei symmetrisch angeordneten Werten beschreibt der Mittelwert die Mitte gut; bei einer einseitig verzerrten Verteilung kann er irreführen.

Symmetrisch

Eine symmetrische Verteilung sieht auf beiden Seiten ihrer Mitte ungefähr gleich aus. Ein klassisches Beispiel sind Quetelets 5738 Brustumfangsmessungen schottischer Soldaten: Die höchsten Häufigkeiten liegen bei 39 und 40 Zoll und nehmen zu beiden Seiten ab. Der Mittelwert beträgt 39.83 Zoll, der Median 40, also fast dasselbe. Das passt zur Symmetrie. Auch die 100 Körpergrößen von Fußballspielern bei OpenStax sind nahezu symmetrisch verteilt, mit Mittelwert 67.26 und Median 67 Zoll.

Links- und rechtsschief

Eine schiefe Verteilung hat auf einer Seite einen langen Ausläufer. Nach dieser Seite wird sie benannt, nicht nach der Lage ihres Gipfels. Die 22 New Yorker Restaurants bei OpenStax beschäftigen zwischen 15 und 42 Personen. Die Hälfte, also 11, hat 20 bis 29 Beschäftigte; größere Betriebe mit bis zu 42 ziehen den rechten Ausläufer in die Länge. Die Verteilung ist rechtsschief, und der Mittelwert 28.09 liegt über dem Median 26.5. Bei den Wochenend-Spielzeiten von 25 Klassenmitgliedern ist es umgekehrt. Die meisten spielten 15 bis 24 Stunden, einige nur sehr wenig und eine Person 0 Stunden. Der Ausläufer zeigt nach links, der Mittelwert 15.55 liegt unter dem Median 17.5. Der Mittelwert folgt dem Ausläufer, weil jeder Wert ihn beeinflusst. Für den Median zählt nur die mittlere Position.

Gleichverteilt und zweigipflig

Eine Gleichverteilung hat keinen Gipfel: Jeder Wert kommt ungefähr gleich häufig vor, wie die Augenzahlen eines fairen Würfels nach vielen Würfen. Eine zweigipflige Verteilung hat zwei Gipfel. Oft wurden dabei zwei unterschiedliche Gruppen vermischt. Misst du die Körpergrößen in einem Raum mit Erwachsenen und kleinen Kindern, entsteht für jede Gruppe ein eigener Hügel. Ein gemeinsamer Mittelwert würde keine typische Person im Raum beschreiben. Frage bei zwei Gipfeln deshalb, ob du die Daten aufteilen solltest.

Eine Verteilung in einem Satz beschreiben

Eine gute Beschreibung nennt vier Dinge: Form, Lage, Streuung und Auffälligkeiten. Für die 100 Körpergrößen bei OpenStax könnte sie lauten: ungefähr symmetrisch und eingipflig, Mitte bei etwa 67 Zoll (Mittelwert 67.26, Median 67), Werte von 60 bis 74 Zoll mit einer Standardabweichung von etwa 2.89 und vier kleinen Spielern (60, 60.5, 61 und 61 Zoll) unterhalb der unteren Ausreißergrenze von 61.125 aus dem Kurs zu Mittelwerten. Für die Spielzeiten: linksschief, Median 17.5 Stunden, Werte von 0 bis 24, wobei 0 etwa 2.2 Standardabweichungen unter dem Mittelwert, aber innerhalb der Ausreißergrenzen liegt. Ein solcher Satz sagt mehr aus als ein einzelner Durchschnitt.