分布の形

OpenStaxの表にある25人の週末のゲーム時間は、中央値17.5時間、平均値15.55時間です。0へ伸びる長い裾が平均値を引き下げています。

分布を描いたら、まず形を説明します。統計では、対称か偏りがあるか、山は一つか二つか、隙間や外れ値があるか、といった言葉を使います。形によって適切な要約が変わるため重要です。平均値は対称な分布の中心には適していますが、片側に偏った分布では誤解を招きます。

対称

対称な分布は、中心の両側がほぼ同じ形になります。ケトレーのスコットランド兵5,738人の胸囲は典型例です。39インチと40インチを頂点として両側に減り、平均値39.83インチと中央値40インチはほぼ一致します。対称性から予想されるとおりです。OpenStaxのサッカー選手100人の身長もほぼ対称で、平均値67.26インチ、中央値67インチです。

左に裾が長い分布と右に裾が長い分布

偏りのある分布は片側に長い裾を持ち、山ではなく裾の向きで呼び分けます。OpenStaxのニューヨークの飲食店22店は従業員15〜42人で、半分の11店が20〜29人です。42人までの大きな店が右の裾を伸ばします。右に裾が長く、平均値28.09は中央値26.5より大きくなります。同級生25人の週末のゲーム時間は逆です。多くは15〜24時間ですが、少数はごく短く、一人は0時間でした。裾が左に伸び、平均値15.55は中央値17.5より小さくなります。すべての値が平均値を引っ張るため平均値は裾に寄りますが、中央値は中央の位置だけで決まります。

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同級生25人の週末のゲーム時間（OpenStax）、始点0、幅5の階級です。裾は左側です。飲食店の従業員数に切り替えると右の裾、胸囲に切り替えると対称な分布が見られます。

一様分布と二峰性分布

一様分布には山がなく、どの値もほぼ同じ頻度で現れます。公平なさいころを何度も振った出目がその例です。二峰性分布には山が二つあり、異なる二集団が混ざっている兆候であることがよくあります。大人と幼い子どもが一緒にいる部屋で身長を測ると、集団ごとに山ができ、一つの平均値では誰の姿も表せません。山が二つ見えたら、データを分けるべきか考えましょう。

形は選んだ階級幅にも左右されます。狭すぎると滑らかな分布がでこぼこに、時には二峰性に見え、広すぎると本当の二つ目の山が隠れます。形に名前を付ける前に、実験画面で二、三種類の幅を試しましょう。

形	例	平均値と中央値の比較
対称	ケトレーの胸囲	ほぼ等しい（39.83と40）
右に裾が長い	飲食店の従業員数	平均値のほうが大きい（28.09と26.5）
左に裾が長い	週末のゲーム時間	平均値のほうが小さい（15.55と17.5）
一様	公平なさいころの出目	ほぼ等しい
二峰性	大人と子どもを混ぜた集団	どちらも典型的な人を表さない

分布を一文で説明する

よい説明には、形、中心、広がり、特徴的な点の四つを含めます。OpenStaxの身長100件なら、ほぼ対称で山は一つ、中心は67インチ付近（平均値67.26、中央値67）、範囲は60〜74インチで標準偏差は約2.89、身長の低い四人（60、60.5、61、61インチ）は平均値のコースで求めた下側の外れ値の境界61.125未満、と書けます。ゲーム時間なら、左に裾が長く、中央値17.5時間、範囲0〜24で、0は平均値より約2.2標準偏差低いが外れ値の境界内、と書けます。単なる平均値より、ずっと多くが伝わります。

対称	中心の両側が同じように見えます
右に裾が長い	裾が右に長く、平均値は中央値より大きくなります
左に裾が長い	裾が左に長く、平均値は中央値より小さくなります
一様	山がなく、どの値もほぼ同じ頻度で現れます
二峰性	山が二つあり、二集団が混ざっていることがよくあります

飲食店の従業員数は平均値28.09、中央値26.5です。最も考えられる形は？
- 左に裾が長い
- 対称
- 右に裾が長い
- 一様
ゲーム時間は平均値15.55、中央値17.5です。裾はどちらですか？
- 左
- 右
- 裾はない
- 両方
ケトレーの胸囲で、中央値から平均値を引くといくつですか？（40 − 39.83）
分布の偏りの向きは何で決めますか？
- 山のある側
- 長い裾のある側
- 平均値
- 色
大人と幼い子どもがいる部屋で身長を測ると、どの分布になりそうですか？
- 一様
- 二峰性
- 完全な正規分布
- 必ず左に裾が長い分布
公平なさいころを何度も振ったヒストグラムは、どの分布に近づきますか？
- 一様
- 二峰性
- 右に裾が長い
- 正規分布
偏りの強い分布では、中心として何を報告すべきですか？
- 平均値だけ
- 中央値（必要なら平均値も）
- 最大値
- 範囲
飲食店のデータで、従業員20〜29人の店は何店ですか？（始点10、幅10の階級）
階級が非常に狭いヒストグラムに、でこぼこした二つの山が見えます。最初に何をしますか？
- 二峰性と報告する
- 階級を広げても山が残るか試す
- データを削除する
- 円グラフにする
対称な分布では、平均値と中央値はどうなりますか？
- ほぼ等しい
- 必ず大きく離れる
- 平均値が必ず大きい
- 中央値は必ず0

ポイント

まず形を説明します。対称か偏りがあるか、山は一つか二つか、隙間や外れ値があるかを見ます。
偏りは長い裾の向きで呼びます。平均値は裾に寄りますが、中央値は影響を受けにくくなります。
二つの山は、二集団の混在を示すことがよくあります。形に名前を付ける前に、いくつかの階級幅で確かめます。

このコースの出典 (7)

OpenStax, Introductory Statistics 2e by Barbara Illowsky and Susan Dean (, per the page notice on 2026-10-17): 2.2 frequency tables, relative and cumulative frequency, frequency polygons (calculus final test scores 5, 10, 30, 40, 15; ages of US presidents at inauguration in six classes)
the 100 soccer player heights, the 50 students' books, the 25 classmates' weekend video game hours and the 22 New York restaurant staff counts (openstax.org/books/introductory-statistics-2e/pages/2-2-histograms-frequency-polygons-and-time-series-graphs)
6.1 the standard normal distribution, z-scores, the empirical rule, X ~ N(5, 6)
heights of Chilean males aged 15 to 18 N(170, 6.28) for 2009 to 2010 and N(172.36, 6.34) for 1984 to 1985, SAT verbal 2012 N(496, 114) with 1,664,479 test takers, Jerome N(16, 4) (openstax.org/books/introductory-statistics-2e/pages/6-1-the-standard-normal-distribution)
De Moivre and the normal approximation to coin flips: D. Lane, Online Statistics Education, 7.2 History of the Normal Distribution (stats.libretexts.org, Introductory Statistics (Lane) 7.2)
EBSCO Research Starters, "De Moivre Describes the Bell-Shaped Curve" (1733)
Quetelet's chest measurements of 5,738 Scottish militiamen (Quetelet 1846, from an 1817 source; Stigler 1986 corrections): R package HistData, ChestSizes and ChestStigler (vincentarelbundock.github.io/Rdatasets/doc/HistData/ChestSizes.html).

確認日: 2026-10-17