標本と標本の大きさ
N(170, 6.28)から無作為に取った五人の身長では標準偏差が3.4 cmになることもありますが、五千人なら6.28との差は数百分の一程度になります。
実際には母集団全体を見ることはほとんどなく、標本を見ます。そのヒストグラムは母集団の分布の粗い写しです。粗さは主に標本の大きさnで決まります。この単元では、既知の母集団から任意の大きさの無作為標本を取り、nが増えるにつれて形が明確になる様子を観察します。
小さい標本はでこぼこする
実験画面で身長の正規母集団N(170, 6.28)と標本20個から始め、「新しい標本」を数回押します。標本が変わると、左に傾いたり中央に隙間ができたりし、標本平均x̄と標本標準偏差sも動きます。このページ用のシミュレーション（乱数シード7）では、同じ母集団からn = 5でx̄ = 167.72、s = 3.37、n = 20でx̄ = 171.09、s = 5.74、n = 100でx̄ = 170.16、s = 6.92となりました。どれも誤りではなく、その大きさの無作為標本で起きることです。
ドラッグで回転、スクロールまたはピンチで拡大・縮小。
大きい標本は安定する
nを1,000、次に5,000に増やします。棒は赤い曲線に沿い、x̄とsの動きも落ち着きます。同じ試行では、n = 1,000でx̄ = 170.10、s = 6.11、n = 5,000で169.84と6.29でした。x̄とμの典型的な距離はσ ÷ √nに従って小さくなります。σ = 6.28なら、n = 5で約2.81 cm、n = 20で1.40 cm、n = 100で0.63 cm、n = 1,000で0.20 cmです。典型的な誤差を半分にするには、四倍のデータが必要です。確率のコースでは平均値の標本分布を使い、この平方根の法則を詳しく扱います。
68-95-99.7の法則には正規分布の形が必要
パネルにはx̄から標準偏差一つ分、二つ分、三つ分以内の標本の割合も表示されます。正規母集団の大きな標本なら、68%、95%、99.7%付近に落ち着きます。母集団を変えてみましょう。0〜10の一様分布ではσ = 10 ÷ √12 ≈ 2.89で、平均値から1σ以内は約57.7%だけですが、二つ分以内にはすべて入ります。平均5分で右に裾が長い待ち時間では、1、2、3σ以内の割合は約86.5%、95.0%、98.2%です。大きい標本は母集団の形を写すのであって、偏った母集団を釣鐘型に変えるわけではありません。
縦軸が密度である理由
標本の実験では、棒の高さを相対度数 ÷ 階級幅とします。棒の全面積が1となり、母集団の曲線の下の全面積と一致するので、標本の大きさに関係なく同じ尺度で重ねられます。個数を縦軸にすると、n = 5,000の棒はn = 5の千倍の高さになり、曲線との比較ができなくなります。
| 標本の大きさn | 標本に含まれる値の個数 |
| x̄とs | 標本平均と標本標準偏差 |
| x̄とμの典型的な距離 | σ ÷ √n |
| データが四倍 | 典型的な誤差が半分になります |
| 偏り | 標本を大きくしても直らない系統的な誤差 |
- σ = 6.28、n = 100のとき、σ ÷ √nを小数第2位まで求めてください。
- σ = 6.28、n = 5のとき、σ ÷ √nを小数第2位まで求めてください。
- σ ÷ √nを半分にするには、nを何倍にしますか？
- 0〜10の一様分布で、σ = 10 ÷ √12を小数第2位まで求めてください。
- 0〜10の一様分布で、平均値から1σ以内の割合は何%ですか？（小数第1位まで）
- 右に裾が長い待ち時間では、1σ以内が約86.5%です。何が分かりますか？
- 68%という数値は正規分布の形に対応する
- 標本が小さすぎる
- 法則は必ず68%を与える
- σが間違っている
- 偏った母集団から5,000個の値を取ると、ヒストグラムはどんな形になりますか？
- 釣鐘型
- 母集団と同じように偏った形
- 一様
- 二峰性
- 同じ母集団からの小さい標本でヒストグラムが異なる理由は？
- 母集団が変わるから
- 無作為抽出にはばらつきがあるから
- 実験画面が壊れているから
- 階級が間違っているから
- オンライン調査に100,000人が自発的に回答しました。主な危険は何ですか？
- 偶然誤差が大きすぎること
- 回答を選んだ人に偏りがあること
- 平均値が定義できないこと
- 何もない
- nが増えると、標本標準偏差sはどうなる傾向がありますか？
- 限りなく大きくなる
- σの近くで安定する
- 0に近づく
- 平均値と等しくなる
- 標本のヒストグラムは母集団の粗い写しで、nが増えると安定します。
- x̄とμの典型的な距離は約σ ÷ √nです。データが四倍になると距離は半分になります。
- 大きい標本は母集団の形を写します。68-95-99.7の法則には正規分布の形が必要で、標本を大きくしても偏りは直りません。
このコースの出典 (7)
- OpenStax, Introductory Statistics 2e by Barbara Illowsky and Susan Dean (, per the page notice on 2026-10-17): 2.2 frequency tables, relative and cumulative frequency, frequency polygons (calculus final test scores 5, 10, 30, 40, 15; ages of US presidents at inauguration in six classes)
- the 100 soccer player heights, the 50 students' books, the 25 classmates' weekend video game hours and the 22 New York restaurant staff counts (openstax.org/books/introductory-statistics-2e/pages/2-2-histograms-frequency-polygons-and-time-series-graphs)
- 6.1 the standard normal distribution, z-scores, the empirical rule, X ~ N(5, 6)
- heights of Chilean males aged 15 to 18 N(170, 6.28) for 2009 to 2010 and N(172.36, 6.34) for 1984 to 1985, SAT verbal 2012 N(496, 114) with 1,664,479 test takers, Jerome N(16, 4) (openstax.org/books/introductory-statistics-2e/pages/6-1-the-standard-normal-distribution)
- De Moivre and the normal approximation to coin flips: D. Lane, Online Statistics Education, 7.2 History of the Normal Distribution (stats.libretexts.org, Introductory Statistics (Lane) 7.2)
- EBSCO Research Starters, "De Moivre Describes the Bell-Shaped Curve" (1733)
- Quetelet's chest measurements of 5,738 Scottish militiamen (Quetelet 1846, from an 1817 source; Stigler 1986 corrections): R package HistData, ChestSizes and ChestStigler (vincentarelbundock.github.io/Rdatasets/doc/HistData/ChestSizes.html).
確認日: 2026-10-17