Échantillons et taille d'échantillon

Cinq tailles tirées au hasard de N(170, 6.28) peuvent donner un écart-type de 3.4 cm ; cinq mille donnent une valeur à quelques centièmes de 6.28.

En pratique, on observe rarement toute une population. On dispose d'un échantillon, dont l'histogramme n'est qu'une copie approximative de la distribution de la population. Sa précision dépend surtout d'un nombre : la taille n de l'échantillon. Cette unité utilise le laboratoire pour tirer des échantillons aléatoires de toute taille dans une population connue : tu verras la copie se préciser quand n augmente.

Les petits échantillons sont irréguliers

Commence avec la population normale des tailles, N(170, 6.28), et un échantillon de 20. Appuie plusieurs fois sur Nouvel échantillon. L'histogramme change d'un tirage à l'autre : parfois il penche à gauche, parfois un creux apparaît au milieu ; la moyenne x̄ et l'écart-type s de l'échantillon changent aussi. Dans une simulation réalisée pour cette page (graine aléatoire 7), la même population a donné x̄ = 167.72 et s = 3.37 pour n = 5, x̄ = 171.09 et s = 5.74 pour n = 20, puis x̄ = 170.16 et s = 6.92 pour n = 100. Aucun résultat n'est faux : c'est la variabilité normale des échantillons de ces tailles.

Les grands échantillons se stabilisent

Passe à n = 1000 puis 5000. Les rectangles épousent la courbe rouge, et x̄ et s fluctuent moins : dans la même simulation, n = 1000 donnait x̄ = 170.10 et s = 6.11 ; n = 5000 donnait 169.84 et 6.29. La distance habituelle entre x̄ et μ diminue comme σ ÷ √n. Pour σ = 6.28, cela donne environ 2.81 cm pour n = 5, 1.40 cm pour n = 20, 0.63 cm pour n = 100 et 0.20 cm pour n = 1000. Pour diviser l'erreur habituelle par deux, il faut quatre fois plus de valeurs. Le cours de probabilités détaille cette loi de la racine carrée avec la distribution d'échantillonnage de la moyenne.

La règle 68-95-99.7 exige une forme normale

Le panneau indique aussi la proportion de l'échantillon à moins d'un, deux et trois écarts-types de x̄. Avec une population normale et un grand échantillon, ces proportions se stabilisent près de 68%, 95% et 99.7%. Change maintenant de population. Pour la population uniforme de 0 à 10, σ = 10 ÷ √12 ≈ 2.89 et seulement environ 57.7% des valeurs se trouvent à moins d'un σ de la moyenne ; elles sont toutes à moins de deux. Pour les temps d'attente asymétriques à droite, de moyenne 5 minutes, les proportions à moins de 1, 2 et 3 σ sont environ 86.5%, 95.0% et 98.2%. Un grand échantillon reproduit la forme de la population ; il ne transforme pas une population asymétrique en cloche.

Pourquoi l'axe vertical indique une densité

Le laboratoire trace chaque rectangle avec une hauteur égale à sa fréquence relative divisée par l'amplitude de la classe. L'aire totale des rectangles vaut alors 1, comme l'aire sous la courbe de la population. Les rectangles et la courbe partagent ainsi une même échelle, quelle que soit la taille de l'échantillon. Un axe d'effectifs rendrait les rectangles pour n = 5000 mille fois plus hauts que pour n = 5, et empêcherait la comparaison avec la courbe.