Выборки и их объём

Пять случайных значений роста из N(170, 6.28) могут дать стандартное отклонение 3.4 см; пять тысяч дают значение, отличающееся от 6.28 на несколько сотых.

На практике мы почти никогда не наблюдаем всю генеральную совокупность. Мы видим выборку, а её гистограмма лишь приблизительно повторяет распределение совокупности. Точность в основном зависит от одного числа: объёма выборки n. В этом разделе лаборатория извлекает случайные выборки любого объёма из известной совокупности, чтобы ты увидел, как с ростом n картина становится точнее.

Малые выборки дают неровную картину

Начни с нормальной совокупности роста N(170, 6.28) и выборки из 20 значений. Нажми кнопку новой выборки несколько раз. Гистограмма меняется от выборки к выборке: то наклоняется влево, то имеет пробел в середине. Выборочное среднее x̄ и стандартное отклонение s тоже меняются. В одной симуляции для этой страницы (начальное значение генератора 7) из той же совокупности получены x̄ = 167.72 и s = 3.37 при n = 5, x̄ = 171.09 и s = 5.74 при n = 20, x̄ = 170.16 и s = 6.92 при n = 100. Ни один результат не ошибочен. Так ведут себя случайные выборки такого объёма.

Большие выборки устойчивее

Увеличь n до 1000, затем до 5000. Столбики приближаются к красной кривой, а x̄ и s перестают сильно колебаться: в той же симуляции при n = 1000 получены x̄ = 170.10 и s = 6.11, а при n = 5000 получены 169.84 и 6.29. Типичное расстояние от x̄ до μ убывает как σ ÷ √n. Для σ = 6.28 это около 2.81 см при n = 5, 1.40 см при n = 20, 0.63 см при n = 100 и 0.20 см при n = 1000. Чтобы вдвое уменьшить типичную ошибку, нужно вчетверо больше значений. В курсе вероятностей этот закон квадратного корня рассматривается подробнее через распределение выборочного среднего.

Правилу 68-95-99.7 нужна нормальная форма

Панель также показывает доли выборки в пределах одного, двух и трёх стандартных отклонений от x̄. Для большой выборки из нормальной совокупности они приближаются к 68%, 95% и 99.7%. Теперь смени совокупность. Для равномерной совокупности от 0 до 10 имеем σ = 10 ÷ √12 ≈ 2.89. В пределах одного σ от среднего находится лишь около 57.7% значений, а в пределах двух находятся все. Для скошенного вправо времени ожидания со средним 5 минут доли в пределах 1, 2 и 3 σ равны примерно 86.5%, 95.0% и 98.2%. Большая выборка повторяет форму совокупности, а не превращает скошенное распределение в колокол.

Почему на вертикальной оси указана плотность

В лаборатории выборок высота каждого столбика равна относительной частоте, делённой на ширину интервала. Поэтому общая площадь столбиков равна 1, как и площадь под кривой совокупности. При любом объёме выборки столбики и кривая используют одну шкалу. На оси числа наблюдений столбики для n = 5000 оказались бы в тысячу раз выше, чем для n = 5, и сравнение с кривой потеряло бы смысл.