Muestras y tamaño de muestra

Cinco estaturas aleatorias de N(170, 6.28) pueden dar una desviación estándar de 3.4 cm; cinco mil dan un valor a pocas centésimas de 6.28.

En la práctica casi nunca observamos una población completa. Observamos una muestra, y su histograma es solo una copia aproximada de la distribución de la población. La precisión depende sobre todo de un número: el tamaño de muestra n. En esta unidad, el laboratorio extrae muestras aleatorias de cualquier tamaño de una población conocida para que veas cómo mejora la copia al crecer n.

Las muestras pequeñas son irregulares

Inicia el laboratorio con la población normal de estaturas, N(170, 6.28), y una muestra de 20. Pulsa Nueva muestra varias veces. El histograma cambia entre muestras: una vez se inclina a la izquierda, otra presenta un hueco central; también cambian la media muestral x̄ y la desviación estándar s. En una simulación realizada para esta página (semilla aleatoria 7), la misma población dio x̄ = 167.72 y s = 3.37 para n = 5; x̄ = 171.09 y s = 5.74 para n = 20; y x̄ = 170.16 y s = 6.92 para n = 100. Ninguno es incorrecto. Es lo que ocurre con muestras aleatorias de esos tamaños.

Las muestras grandes se estabilizan

Aumenta n a 1000 y después a 5000. Las barras se acercan a la curva roja y x̄ y s dejan de variar tanto: en la misma simulación, n = 1000 dio x̄ = 170.10 y s = 6.11; n = 5000 dio 169.84 y 6.29. La distancia habitual entre x̄ y μ disminuye como σ ÷ √n. Para σ = 6.28, es de unos 2.81 cm con n = 5, 1.40 cm con n = 20, 0.63 cm con n = 100 y 0.20 cm con n = 1000. Para reducir a la mitad el error habitual necesitas cuatro veces más valores. El curso de probabilidad estudia esta ley de la raíz cuadrada mediante la distribución muestral de la media.

La regla 68-95-99.7 necesita una forma normal

El panel también indica qué proporción de la muestra queda a una, dos y tres desviaciones estándar de x̄ o menos. Para una población normal y una muestra grande, se estabilizan cerca del 68%, el 95% y el 99.7%. Ahora cambia la población. En la uniforme de 0 a 10, σ = 10 ÷ √12 ≈ 2.89 y solo alrededor del 57.7% queda dentro de una σ de la media, mientras que todos quedan dentro de dos. Para los tiempos de espera asimétricos a la derecha con media de 5 minutos, las proporciones poblacionales dentro de 1, 2 y 3 σ son aproximadamente 86.5%, 95.0% y 98.2%. Una muestra grande reproduce la forma de la población; no convierte una población asimétrica en campana.

Por qué el eje vertical dice densidad

El laboratorio de muestras dibuja cada barra con altura igual a su frecuencia relativa dividida por la amplitud de clase. Así, el área total de las barras es 1, igual que el área bajo la curva poblacional; ambas pueden compartir escala cualquiera que sea el tamaño de muestra. Un eje de recuentos haría que las barras de n = 5000 fueran mil veces más altas que las de n = 5 y se perdería la comparación con la curva.