La regla 68-95-99.7

Los varones chilenos de 15 a 18 años entre 2009 y 2010 tenían una estatura media de 170 cm y una desviación estándar de 6.28 cm; por tanto, aproximadamente el 95% medía entre 157.44 y 182.56 cm.

Todas las curvas normales, independientemente de su anchura o posición, tienen las mismas áreas cuando la distancia a la media se mide en desviaciones estándar. Esto permite recordar una regla sencilla: aproximadamente el 68% de los valores está a una desviación estándar de la media o menos, el 95% a dos y el 99.7% a tres. OpenStax la llama regla empírica; muchas personas la conocen como regla 68-95-99.7.

Aplicarla con números reales

OpenStax presenta las estaturas de varones chilenos de 15 a 18 años en 2009 a 2010 como N(170, 6.28), en centímetros. Una desviación estándar a cada lado va de 170 − 6.28 = 163.72 a 170 + 6.28 = 176.28 cm, por lo que aproximadamente el 68% estaba en ese intervalo. Dos desviaciones estándar abarcan de 157.44 a 182.56 cm y cerca del 95%. Tres abarcan de 151.16 a 188.84 cm y cerca del 99.7%, dejando solo 3 de cada 1000 fuera. Para el mismo grupo en 1984 a 1985, N(172.36, 6.34), el libro da los intervalos de 166.02 a 178.7, de 159.68 a 185.04 y de 153.34 a 191.38 cm.

Las cifras exactas y las colas

La regla redondea. Las áreas exactas son 68.27%, 95.45% y 99.73%. Como la curva es simétrica, lo que queda fuera de una banda se reparte por igual entre las dos colas. Fuera de una desviación estándar queda el 31.73%, así que el 15.87% está por encima de μ + σ y otro 15.87% por debajo de μ − σ. Por encima de μ + 2σ queda aproximadamente el 2.28%. Entre una y dos desviaciones estándar por encima de la media está 95.45% ÷ 2 − 68.27% ÷ 2 ≈ 13.59%. Con estos pocos números puedes responder muchas preguntas sin tabla.

Comparar datos reales con la regla

Los 5738 tórax de Quetelet tienen media 39.83 y desviación estándar 2.05 pulgadas. Al contar directamente, el 66.8% queda a una desviación estándar de la media o menos, el 95.3% a dos y el 99.5% a tres. Son cifras próximas a 68, 95 y 99.7, otra forma de decir que los datos son aproximadamente normales. La regla no vale para datos asimétricos. En una distribución como los tiempos de espera, con cola larga a la derecha, la proporción dentro de una desviación estándar puede alejarse mucho del 68%; lo verás en la última unidad.

Detectar valores inusuales y razonar al revés

La regla también indica lo raro que es un valor. Fuera de dos desviaciones estándar queda el 4.55% de una población normal, cerca de 1 valor de cada 22; fuera de tres queda el 0.27%, cerca de 1 de cada 370. Un chileno de 15 a 18 años que midiera 190 cm en 2009 a 2010 tendría z = (190 − 170) ÷ 6.28 ≈ 3.18, por lo que esa estatura era poco común en ese grupo. La regla también funciona al revés. OpenStax describe un examen de ingreso universitario con media 52 y desviación estándar 11: alrededor del 68% de las notas está entre 41 y 63, el 95% entre 30 y 74 y el 99.7% entre 19 y 85. Con solo el intervalo del 68%, su punto medio da la media y la mitad de su anchura da la desviación estándar.