La regola 68-95-99.7
I ragazzi cileni da 15 a 18 anni nel 2009-2010 avevano altezza media 170 cm e deviazione standard 6.28 cm: circa il 95% era quindi tra 157.44 e 182.56 cm.
Ogni curva normale, qualunque sia la sua ampiezza o posizione, ha le stesse aree quando la distanza dalla media si misura in deviazioni standard. Ne deriva una regola facile da ricordare. Circa il 68% dei valori dista al massimo una deviazione standard dalla media, circa il 95% al massimo due e circa il 99.7% al massimo tre. OpenStax la chiama regola empirica; molti la chiamano semplicemente regola 68-95-99.7.
Entro una deviazione standard dalla media: circa 68%. Entro due: circa 95%. Entro tre: circa 99.7%.
Usarla con numeri reali
OpenStax descrive le altezze dei maschi cileni da 15 a 18 anni nel 2009-2010 con N(170, 6.28), in centimetri. Una deviazione standard per lato va da 170 − 6.28 = 163.72 a 170 + 6.28 = 176.28 cm: circa il 68% di questi ragazzi rientrava nell'intervallo. Due deviazioni standard vanno da 157.44 a 182.56 cm e coprono circa il 95%. Tre vanno da 151.16 a 188.84 cm e coprono circa il 99.7%, lasciando fuori solo 3 ragazzi su 1000. Per lo stesso gruppo nel 1984-1985, N(172.36, 6.34), il libro dà gli intervalli da 166.02 a 178.7, da 159.68 a 185.04 e da 153.34 a 191.38 cm.
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I valori esatti e le code
La regola arrotonda. Le aree calcolate esattamente sono 68.27%, 95.45% e 99.73%. Per la simmetria, ciò che resta fuori da una fascia si divide in parti uguali tra le due code. Fuori da una deviazione standard resta il 31.73%: il 15.87% sopra μ + σ e il 15.87% sotto μ − σ. Sopra μ + 2σ si trova circa il 2.28%. Tra una e due deviazioni standard sopra la media si trova 95.45% ÷ 2 − 68.27% ÷ 2 ≈ 13.59%. Questi pochi numeri permettono di rispondere a molte domande senza una tabella.
Confrontare dati reali con la regola
I 5738 toraci di Quetelet hanno media 39.83 e deviazione standard 2.05 pollici. Contando direttamente, il 66.8% degli uomini rientra entro una deviazione standard dalla media, il 95.3% entro due e il 99.5% entro tre. Sono valori vicini a 68, 95 e 99.7: un altro modo per dire che i dati sono approssimativamente normali. La regola non vale per dati asimmetrici. In una distribuzione come quella dei tempi di attesa, con una lunga coda destra, la quota entro una deviazione standard può essere molto diversa dal 68%; lo vedrai nell'ultima unità.
Riconoscere valori insoliti e ragionare a ritroso
La regola indica anche quanto è raro un valore. Fuori da due deviazioni standard si trova il 4.55% di una popolazione normale, circa 1 valore su 22; fuori da tre il 0.27%, circa 1 su 370. Un cileno da 15 a 18 anni alto 190 cm nel 2009-2010 ha z = (190 − 170) ÷ 6.28 ≈ 3.18: altezze così sono rare in quel gruppo. La regola funziona anche a ritroso. OpenStax descrive un esame di ammissione all'università con media 52 e deviazione standard 11: circa il 68% dei punteggi è tra 41 e 63, circa il 95% tra 30 e 74 e circa il 99.7% tra 19 e 85. Conoscendo solo l'intervallo del 68%, il suo centro è la media e metà della sua ampiezza è la deviazione standard.
| Entro 1σ | Circa 68% (68.27%) |
| Entro 2σ | Circa 95% (95.45%) |
| Entro 3σ | Circa 99.7% (99.73%) |
| Sopra μ + σ | Circa 16% (15.87%) |
| Sopra μ + 2σ | Circa 2.5% (2.28%) |
- N(170, 6.28): estremo inferiore dell'intervallo del 68%?
- N(170, 6.28): estremo superiore dell'intervallo del 95%?
- N(172.36, 6.34): estremo inferiore dell'intervallo del 99.7%?
- N(50, 6): circa il 95% dei valori è compreso tra 38 e quale numero?
- Quale percentuale approssimativa di una popolazione normale è sopra μ + σ? (due decimali)
- Percentuale tra μ + σ e μ + 2σ? (due decimali)
- Su 1000 valori di una distribuzione normale, circa quanti distano più di 3σ dalla media?
- Toraci di Quetelet (media 39.83, s 2.05): estremo inferiore dell'intervallo 2σ, con due decimali?
- Contando i toraci si ottengono 66.8%, 95.3% e 99.5%. Che cosa suggerisce?
- I dati sono approssimativamente normali
- I dati sono asimmetrici
- La regola è sbagliata
- Ci sono solo valori anomali
- La regola 68-95-99.7 si applica a dati fortemente asimmetrici?
- Sì, a tutti i dati
- No, vale per dati approssimativamente normali
- Solo per 99.7
- Solo per campioni piccoli
- Circa il 68%, il 95% e il 99.7% di una distribuzione normale rientra entro 1, 2 e 3 deviazioni standard dalla media.
- Valori esatti: 68.27%, 95.45%, 99.73%; la parte esterna si divide equamente tra le code.
- Usa la regola solo quando i dati sono approssimativamente normali.
Fonti di questo corso (7)
- OpenStax, Introductory Statistics 2e by Barbara Illowsky and Susan Dean (, per the page notice on 2026-10-17): 2.2 frequency tables, relative and cumulative frequency, frequency polygons (calculus final test scores 5, 10, 30, 40, 15; ages of US presidents at inauguration in six classes)
- the 100 soccer player heights, the 50 students' books, the 25 classmates' weekend video game hours and the 22 New York restaurant staff counts (openstax.org/books/introductory-statistics-2e/pages/2-2-histograms-frequency-polygons-and-time-series-graphs)
- 6.1 the standard normal distribution, z-scores, the empirical rule, X ~ N(5, 6)
- heights of Chilean males aged 15 to 18 N(170, 6.28) for 2009 to 2010 and N(172.36, 6.34) for 1984 to 1985, SAT verbal 2012 N(496, 114) with 1,664,479 test takers, Jerome N(16, 4) (openstax.org/books/introductory-statistics-2e/pages/6-1-the-standard-normal-distribution)
- De Moivre and the normal approximation to coin flips: D. Lane, Online Statistics Education, 7.2 History of the Normal Distribution (stats.libretexts.org, Introductory Statistics (Lane) 7.2)
- EBSCO Research Starters, "De Moivre Describes the Bell-Shaped Curve" (1733)
- Quetelet's chest measurements of 5,738 Scottish militiamen (Quetelet 1846, from an 1817 source; Stigler 1986 corrections): R package HistData, ChestSizes and ChestStigler (vincentarelbundock.github.io/Rdatasets/doc/HistData/ChestSizes.html).
Consultato il: 2026-10-17