De 68-95-99.7-regel

Chileense jongens van 15 tot 18 jaar hadden in 2009 tot 2010 een gemiddelde lengte van 170 cm met standaardafwijking 6.28 cm. Ongeveer 95% was dus tussen 157.44 en 182.56 cm lang.

Elke normale kromme heeft dezelfde oppervlakten als je de afstand tot het gemiddelde in standaardafwijkingen meet, ongeacht de breedte of plaats van de kromme. Dat geeft een regel die je makkelijk onthoudt. Ongeveer 68% van de waarden ligt binnen één standaardafwijking van het gemiddelde, ongeveer 95% binnen twee en ongeveer 99.7% binnen drie. OpenStax noemt dit de empirische regel. Veel mensen zeggen gewoon de 68-95-99.7-regel.

Toepassen met echte getallen

OpenStax geeft de lengtes van Chileense jongens van 15 tot 18 jaar in 2009 tot 2010 als N(170, 6.28), in centimeters. Eén standaardafwijking aan weerszijden loopt van 170 − 6.28 = 163.72 tot 170 + 6.28 = 176.28 cm. Ongeveer 68% van deze jongens viel dus binnen dat bereik. Twee standaardafwijkingen lopen van 157.44 tot 182.56 cm en omvatten ongeveer 95%. Drie lopen van 151.16 tot 188.84 cm en omvatten ongeveer 99.7%. Er vallen dus maar 3 op 1000 buiten. Voor dezelfde groep in 1984 tot 1985, N(172.36, 6.34), geeft het boek de bereiken 166.02 tot 178.7, 159.68 tot 185.04 en 153.34 tot 191.38 cm.

De exacte getallen en de staarten

De regel gebruikt afgeronde getallen. Exact berekend zijn de oppervlakten 68.27%, 95.45% en 99.73%. Door de symmetrie wordt wat buiten de band ligt gelijk verdeeld over beide staarten. Buiten één standaardafwijking ligt 31.73%, dus 15.87% ligt boven μ + σ en 15.87% onder μ − σ. Boven μ + 2σ ligt ongeveer 2.28%. Tussen één en twee standaardafwijkingen boven het gemiddelde ligt 95.45% ÷ 2 − 68.27% ÷ 2 ≈ 13.59%. Met deze paar getallen beantwoord je veel vragen zonder tabel.

Echte gegevens vergelijken met de regel

Quetelets 5738 borstmaten hebben gemiddelde 39.83 en standaardafwijking 2.05 inch. Als je rechtstreeks telt, ligt 66.8% van de mannen binnen één standaardafwijking van het gemiddelde, 95.3% binnen twee en 99.5% binnen drie. Dat ligt dicht bij 68, 95 en 99.7. Ook zo zie je dat de gegevens bij benadering normaal verdeeld zijn. Voor scheve gegevens geldt de regel niet. Bij een verdeling zoals wachttijden, met een lange rechterstaart, kan het aandeel binnen één standaardafwijking ver van 68% liggen. Dat zie je in het laatste hoofdstuk.

Ongebruikelijke waarden herkennen en terugrekenen

Met de regel zie je ook hoe zeldzaam een waarde is. Buiten twee standaardafwijkingen ligt 4.55% van een normale populatie, ongeveer 1 waarde op 22. Buiten drie ligt 0.27%, ongeveer 1 op 370. Een Chileense jongen van 15 tot 18 jaar met lengte 190 cm in 2009 tot 2010 heeft z = (190 − 170) ÷ 6.28 ≈ 3.18. Zulke lengtes zijn dus zeldzaam in die groep. Je kunt ook terugrekenen. OpenStax beschrijft een toelatingsexamen met gemiddelde 52 en standaardafwijking 11: ongeveer 68% van de scores ligt tussen 41 en 63, ongeveer 95% tussen 30 en 74 en ongeveer 99.7% tussen 19 en 85. Ken je alleen het 68%-bereik, dan is het midden het gemiddelde en de halve breedte de standaardafwijking.