A regra 68-95-99.7
Rapazes chilenos de 15 a 18 anos, entre 2009 e 2010, tinham altura média de 170 cm e desvio padrão de 6.28 cm; assim, cerca de 95% estavam entre 157.44 e 182.56 cm.
Toda curva normal, seja qual for sua largura e posição, tem as mesmas áreas quando a distância à média é medida em desvios padrão. Daí vem uma regra fácil de guardar: cerca de 68% dos valores ficam a até um desvio padrão da média; cerca de 95%, a até dois; e cerca de 99.7%, a até três. O OpenStax a chama de regra empírica; muita gente diz apenas regra 68-95-99.7.
A até um desvio padrão da média: cerca de 68%. A até dois: cerca de 95%. A até três: cerca de 99.7%.
Usando a regra com números reais
O OpenStax apresenta as alturas de rapazes chilenos de 15 a 18 anos, entre 2009 e 2010, como N(170, 6.28), em centímetros. Um desvio padrão para cada lado vai de 170 − 6.28 = 163.72 a 170 + 6.28 = 176.28 cm, então cerca de 68% desses jovens estavam nesse intervalo. Dois desvios padrão vão de 157.44 a 182.56 cm e abrangem cerca de 95%. Três vão de 151.16 a 188.84 cm e abrangem cerca de 99.7%, deixando só 3 em 1,000 de fora. Para o mesmo grupo entre 1984 e 1985, N(172.36, 6.34), o livro dá os intervalos de 166.02 a 178.7, de 159.68 a 185.04 e de 153.34 a 191.38 cm.
Arraste para girar. Use a rolagem ou afaste e aproxime dois dedos para ajustar o zoom.
Os números exatos e as caudas
A regra usa arredondamentos. Calculadas com precisão, as áreas são 68.27%, 95.45% e 99.73%. Como a curva é simétrica, o que fica fora de uma faixa se divide igualmente entre as duas caudas. Fora de um desvio padrão estão 31.73%, portanto 15.87% ficam acima de μ + σ e 15.87% abaixo de μ − σ. Acima de μ + 2σ ficam cerca de 2.28%. Entre um e dois desvios padrão acima da média ficam 95.45% ÷ 2 − 68.27% ÷ 2 ≈ 13.59%. Com esses poucos números, você responde a muitas perguntas sem uma tabela.
Conferindo a regra com dados reais
As 5,738 medidas do tórax de Quetelet têm média 39.83 e desvio padrão 2.05 polegadas. Pela contagem direta, 66.8% dos homens ficam a até um desvio padrão da média, 95.3% a até dois e 99.5% a até três. São números próximos de 68, 95 e 99.7, outra maneira de dizer que os dados são aproximadamente normais. A regra não vale para dados assimétricos. Em uma distribuição como tempos de espera, com cauda longa à direita, a proporção a até um desvio padrão pode ficar longe de 68%; você verá isso na última unidade.
Identificando valores incomuns e fazendo o caminho inverso
A regra também informa quão raro é um valor. Fora de dois desvios padrão ficam 4.55% de uma população normal, cerca de 1 valor em 22; fora de três ficam 0.27%, cerca de 1 em 370. Um chileno de 15 a 18 anos com 190 cm entre 2009 e 2010 tem z = (190 − 170) ÷ 6.28 ≈ 3.18, portanto alturas assim são raras nesse grupo. A regra também funciona de trás para frente. O OpenStax descreve um exame de ingresso universitário com média 52 e desvio padrão 11: cerca de 68% das notas ficam entre 41 e 63, cerca de 95% entre 30 e 74 e cerca de 99.7% entre 19 e 85. Conhecendo apenas o intervalo dos 68%, seu ponto médio é a média, e metade de sua largura é o desvio padrão.
| A até 1σ | Cerca de 68% (68.27%) |
| A até 2σ | Cerca de 95% (95.45%) |
| A até 3σ | Cerca de 99.7% (99.73%) |
| Acima de μ + σ | Cerca de 16% (15.87%) |
| Acima de μ + 2σ | Cerca de 2.5% (2.28%) |
- N(170, 6.28): limite inferior do intervalo de 68%?
- N(170, 6.28): limite superior do intervalo de 95%?
- N(172.36, 6.34): limite inferior do intervalo de 99.7%?
- N(50, 6): cerca de 95% dos valores ficam entre 38 e quanto?
- Aproximadamente que porcentagem de uma população normal fica acima de μ + σ? (duas casas decimais)
- Porcentagem entre μ + σ e μ + 2σ? (duas casas decimais)
- Em 1,000 valores de uma distribuição normal, aproximadamente quantos ficam a mais de 3σ da média?
- Tórax de Quetelet (média 39.83, s 2.05): limite inferior do intervalo de 2σ, com duas casas decimais?
- A contagem das medidas dá 66.8%, 95.3% e 99.5%. O que isso sugere?
- Os dados são aproximadamente normais
- Os dados são assimétricos
- A regra está errada
- Só há valores atípicos
- A regra 68-95-99.7 vale para dados muito assimétricos?
- Sim, para todos os dados
- Não, ela vale para dados aproximadamente normais
- Só para 99.7
- Só para amostras pequenas
- Cerca de 68%, 95% e 99.7% de uma distribuição normal ficam a até 1, 2 e 3 desvios padrão da média.
- Valores exatos: 68.27%, 95.45%, 99.73%; a parte externa se divide igualmente entre as caudas.
- Use a regra apenas quando os dados forem aproximadamente normais.
Fontes deste curso (7)
- OpenStax, Introductory Statistics 2e by Barbara Illowsky and Susan Dean (, per the page notice on 2026-10-17): 2.2 frequency tables, relative and cumulative frequency, frequency polygons (calculus final test scores 5, 10, 30, 40, 15; ages of US presidents at inauguration in six classes)
- the 100 soccer player heights, the 50 students' books, the 25 classmates' weekend video game hours and the 22 New York restaurant staff counts (openstax.org/books/introductory-statistics-2e/pages/2-2-histograms-frequency-polygons-and-time-series-graphs)
- 6.1 the standard normal distribution, z-scores, the empirical rule, X ~ N(5, 6)
- heights of Chilean males aged 15 to 18 N(170, 6.28) for 2009 to 2010 and N(172.36, 6.34) for 1984 to 1985, SAT verbal 2012 N(496, 114) with 1,664,479 test takers, Jerome N(16, 4) (openstax.org/books/introductory-statistics-2e/pages/6-1-the-standard-normal-distribution)
- De Moivre and the normal approximation to coin flips: D. Lane, Online Statistics Education, 7.2 History of the Normal Distribution (stats.libretexts.org, Introductory Statistics (Lane) 7.2)
- EBSCO Research Starters, "De Moivre Describes the Bell-Shaped Curve" (1733)
- Quetelet's chest measurements of 5,738 Scottish militiamen (Quetelet 1846, from an 1817 source; Stigler 1986 corrections): R package HistData, ChestSizes and ChestStigler (vincentarelbundock.github.io/Rdatasets/doc/HistData/ChestSizes.html).
Data de verificação: 2026-10-17