Die 68-95-99.7-Regel

Chilenische Jungen von 15 bis 18 Jahren waren 2009 bis 2010 durchschnittlich 170 cm groß, bei einer Standardabweichung von 6.28 cm. Rund 95% lagen deshalb zwischen 157.44 und 182.56 cm.

Jede Normalverteilungskurve hat dieselben Flächenanteile, wenn du Abstände vom Mittelwert in Standardabweichungen misst, unabhängig von ihrer Lage und Breite. Daraus ergibt sich eine leicht merkbare Regel: Etwa 68% der Werte liegen höchstens eine Standardabweichung vom Mittelwert entfernt, etwa 95% höchstens zwei und etwa 99.7% höchstens drei. OpenStax nennt sie die empirische Regel; häufig heißt sie einfach 68-95-99.7-Regel.

Mit konkreten Zahlen rechnen

OpenStax beschreibt die Körpergrößen chilenischer Jugendlicher männlichen Geschlechts im Alter von 15 bis 18 Jahren von 2009 bis 2010 durch N(170, 6.28) in Zentimetern. Der Bereich einer Standardabweichung um den Mittelwert reicht von 170 − 6.28 = 163.72 bis 170 + 6.28 = 176.28 cm. Etwa 68% dieser Jugendlichen lagen darin. Zwei Standardabweichungen reichen von 157.44 bis 182.56 cm und umfassen etwa 95%. Drei reichen von 151.16 bis 188.84 cm und umfassen etwa 99.7%. Nur 3 von 1000 liegen außerhalb. Für dieselbe Altersgruppe von 1984 bis 1985, N(172.36, 6.34), nennt das Buch die Bereiche 166.02 bis 178.7, 159.68 bis 185.04 und 153.34 bis 191.38 cm.

Die genauen Zahlen und die Ausläufer

Die Regel rundet. Genau berechnet betragen die Flächenanteile 68.27%, 95.45% und 99.73%. Wegen der Symmetrie verteilt sich der Rest gleichmäßig auf beide Ausläufer. Außerhalb einer Standardabweichung liegen 31.73%, also 15.87% oberhalb von μ + σ und 15.87% unterhalb von μ − σ. Über μ + 2σ liegen etwa 2.28%. Zwischen einer und zwei Standardabweichungen oberhalb des Mittelwerts liegen 95.45% ÷ 2 − 68.27% ÷ 2 ≈ 13.59%. Mit diesen wenigen Zahlen kannst du viele Fragen ohne Tabelle beantworten.

Echte Daten mit der Regel vergleichen

Quetelets 5738 Brustumfänge haben den Mittelwert 39.83 und die Standardabweichung 2.05 Zoll. Direktes Auszählen ergibt: 66.8% der Männer liegen innerhalb einer Standardabweichung vom Mittelwert, 95.3% innerhalb von zwei und 99.5% innerhalb von drei. Das liegt nahe bei 68, 95 und 99.7 und bestätigt die annähernde Normalverteilung. Für schiefe Daten gilt die Regel nicht. Bei einer Verteilung wie der von Wartezeiten mit langem rechten Ausläufer kann der Anteil innerhalb einer Standardabweichung weit von 68% entfernt liegen. Das siehst du in der letzten Einheit.

Ungewöhnliche Werte erkennen und rückwärts rechnen

Die Regel zeigt auch, wie selten ein Wert ist. Außerhalb von zwei Standardabweichungen liegen 4.55% einer normalverteilten Grundgesamtheit, etwa 1 Wert von 22. Außerhalb von drei liegen 0.27%, etwa 1 von 370. Ein chilenischer Jugendlicher von 15 bis 18 Jahren mit 190 cm Körpergröße hatte 2009 bis 2010 den z-Wert z = (190 − 170) ÷ 6.28 ≈ 3.18. Eine solche Größe ist in dieser Gruppe selten. Die Regel funktioniert auch rückwärts. OpenStax beschreibt einen Hochschulzulassungstest mit Mittelwert 52 und Standardabweichung 11: Etwa 68% der Ergebnisse liegen zwischen 41 und 63, etwa 95% zwischen 30 und 74 und etwa 99.7% zwischen 19 und 85. Kennst du nur den 68%-Bereich, liefert dessen Mitte den Mittelwert und seine halbe Breite die Standardabweichung.