Die Normalverteilungskurve

Quetelets 5738 Brustumfänge haben den Mittelwert 39.83 Zoll und die Standardabweichung 2.05. Die zugehörige Normalverteilungskurve sagt 1102 Männer mit 40 Zoll voraus; in der Tabelle stehen 1079.

Viele Messgrößen, von Körpergrößen über Prüfungsergebnisse bis zu wiederholten Messfehlern, ergeben dieselbe Glockenform: Die meisten Werte liegen nahe der Mitte, zu beiden Seiten werden es immer weniger, und beide Seiten spiegeln einander. Die glatte Kurve dieser Form heißt Normalverteilungskurve. Eine Variable, die ihr folgt, ist normalverteilt. Dies ist das am häufigsten verwendete Modell der Statistik.

Zwei Zahlen legen die Kurve fest

Jede Normalverteilungskurve ist durch zwei Zahlen bestimmt. Der Mittelwert μ legt die Lage des Gipfels fest, die Standardabweichung σ die Breite der Glocke. OpenStax schreibt X ~ N(μ, σ). Änderst du μ, verschiebt sich die ganze Kurve entlang der Achse, ohne ihre Form zu ändern. Änderst du σ, wird sie breiter oder schmaler: Ein größeres σ ergibt eine flachere, breitere Glocke, denn die Gesamtfläche unter jeder Normalverteilungskurve beträgt genau 1. Die Kurve ist symmetrisch um μ. Deshalb sind Mittelwert, Median und Modalwert gleich. Bei μ − σ und μ + σ wechselt ihre Krümmung. Daran lässt sich σ in einer Zeichnung leicht erkennen.

Fläche entspricht Anteil

In einem Histogramm mit relativen Häufigkeiten entspricht der Anteil der Werte in einem Bereich der Fläche der zugehörigen Balken. Bei einer Normalverteilungskurve funktioniert es genauso. Die Fläche zwischen zwei Werten beschreibt den Anteil der Grundgesamtheit dazwischen und damit auch die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufällig gewählter Wert dort liegt. Wegen der Symmetrie beträgt die Fläche links von μ genau 0.5. Andere Flächen bestimmst du mithilfe einer Tabelle oder eines Rechners. Das Labor berechnet sie und zeigt sie im Bedienfeld an.

Ein Modell, kein Gesetz

Kein echter Datensatz ist exakt normalverteilt. Die Brustumfänge sind in ganzen Zoll angegeben, die Kurve ist dagegen glatt. Ihre Ausläufer erreichen nie ganz null, während Brustumfänge einen kleinsten und größten Wert haben. Außerdem schwanken die Häufigkeiten um die Kurve. Eine Verteilung heißt „annähernd normalverteilt“, wenn eine Kurve mit gleichem Mittelwert und gleicher Standardabweichung für die jeweilige Fragestellung gut genug passt. Schiefe Daten wie die Restaurantbelegschaften sind nicht annähernd normalverteilt. Berechnungen mit der Normalverteilungskurve können hier stark danebenliegen.