Beranda›Peluang dan statistika›Distribusi

Kurva normal

Sebanyak 5738 ukuran lingkar dada Quetelet memiliki rata-rata 39.83 inci dan simpangan baku 2.05; kurva normal dengan kedua angka itu memprediksi 1102 pria pada 40 inci, sedangkan tabel memuat 1079.

Banyak besaran hasil pengukuran, dari tinggi badan dan nilai ujian hingga kesalahan pengukuran berulang, membentuk pola lonceng yang sama: kebanyakan nilai dekat tengah, makin sedikit ke kedua sisi, dan kedua sisinya saling mencerminkan. Kurva mulus yang menggambarkan bentuk ini disebut kurva normal, dan variabel yang mengikutinya memiliki distribusi normal. Inilah model yang paling sering digunakan dalam statistik.

Dua angka menentukan kurva

Setiap kurva normal ditentukan oleh dua angka. Rata-rata μ menentukan letak puncak, dan simpangan baku σ menentukan lebar lonceng. OpenStax menulis X ~ N(μ, σ). Ubah μ dan seluruh kurva bergeser sepanjang sumbu tanpa berubah bentuk. Ubah σ dan kurva melebar atau menyempit: σ yang lebih besar menghasilkan lonceng lebih rendah dan lebar karena total luas di bawah setiap kurva normal tepat 1. Kurva simetris terhadap μ, sehingga rata-rata, median, dan modus sama. Kelengkungannya berubah dari ke bawah menjadi ke atas pada μ − σ dan μ + σ, cara praktis mengenali σ pada gambar.

Memuat

Seret untuk memutar. Gulir atau rapatkan dan renggangkan dua jari untuk mengatur zoom.

Kurva normal yang dicocokkan dengan lingkar dada Quetelet, N(39.83, 2.05). Geser pengatur μ dan kurva bergeser; ubah σ dan kurva melebar atau menyempit. Atur Arsir menjadi "Di kiri x" lalu seret pada grafik: luas arsiran adalah proporsi prajurit di bawah x.

Luas adalah proporsi

Pada histogram yang digambar dengan frekuensi relatif, proporsi nilai dalam suatu rentang adalah luas batang di atas rentang itu. Kurva normal bekerja dengan cara sama. Luas di bawah kurva di antara dua nilai adalah proporsi populasi di antaranya, yang juga merupakan peluang satu nilai yang dipilih acak jatuh di sana. Luas di kiri μ tepat 0.5 karena simetri. Luas rentang lain diperoleh dari tabel atau kalkulator; laboratorium menghitungnya dan menampilkannya pada panel.

Sebanyak 5738 pengukuran lingkar dada Quetelet (batang) dan kurva normal dengan rata-rata serta simpangan baku sama (merah).

Latar belakangKurva ini pertama kali ditemukan sebagai jalan pintas. Pada tahun 1700-an, Abraham de Moivre, matematikawan di London yang sering dimintai bantuan penjudi menghitung peluang, menghadapi perhitungan seperti peluang mendapat 60 sisi kepala atau lebih dalam 100 lemparan koin, yang berarti menjumlahkan puluhan peluang binomial dengan tangan. Ia melihat bahwa saat jumlah lemparan bertambah, batang distribusi binomial membentuk kurva makin mulus, dan pada 1733 ia menemukan rumusnya. Seabad kemudian, astronom Belgia Adolphe Quetelet membawa kurva dari permainan dan langit ke manusia. Pada 1846, ia menerbitkan ukuran lingkar dada 5738 anggota milisi Skotlandia, disalin dari sumber tahun 1817, dan menunjukkan bahwa datanya mengikuti lonceng dengan dekat. Ia membangun gagasan "manusia rata-rata" dari kurva seperti itu. Kemudian, Stephen Stigler membandingkan tabel Quetelet dengan sumber asli dan menemukan kesalahan penyalinan; tabel koreksinya memuat 168 pria pada 44 inci, bukan 92, sehingga sebagian besar selisih dengan kurva pada titik itu hilang.

Model, bukan hukum

Tidak ada kumpulan data nyata yang tepat normal. Lingkar dada tercatat dalam inci bulat, sedangkan kurvanya mulus; ekor kurva tidak pernah benar-benar mencapai nol, sedangkan lingkar dada memiliki ukuran terkecil dan terbesar; dan frekuensinya berfluktuasi di sekitar kurva. Ahli statistik menyebut distribusi "mendekati normal" jika kurva dengan rata-rata dan simpangan baku sama cukup cocok untuk pertanyaan yang dibahas. Data menceng, seperti jumlah karyawan restoran, tidak mendekati normal, sehingga jawaban berdasarkan kurva normal bisa sangat meleset.

Distribusi normal	Distribusi berbentuk lonceng simetris N(μ, σ)
μ	Rata-rata: letak puncak
σ	Simpangan baku: lebar lonceng
Total luas	Tepat 1
Luas antara a dan b	Proporsi (peluang) nilai antara a dan b
De Moivre, 1733	Menemukan kurva sebagai pendekatan cacahan hasil lemparan koin

Angka mana yang menggeser kurva normal ke kiri atau kanan tanpa mengubah bentuknya?
- μ
- σ
- n
- Luas
σ menjadi dua kali lipat. Apa yang terjadi pada tinggi puncak?
- Menjadi dua kali lipat
- Menjadi setengahnya
- Tetap sama
- Menjadi 1
Berapa luas di bawah seluruh kurva normal?
Berapa luas di kiri rata-rata?
Lingkar dada Quetelet: berapa bagian yang berukuran 39, 40, atau 41 inci (1073 + 1079 + 934 dari 5738)? Dalam persen, satu angka desimal.
Berapa prajurit memiliki ukuran 37 inci atau kurang? (3 + 18 + 81 + 185 + 420)
Pada tahun berapa de Moivre menemukan rumus kurva ini?
- 1654
- 1733
- 1846
- 1954
Dalam distribusi normal, rata-rata, median, dan modus...
- Semuanya sama
- Rata-rata paling besar
- Median paling besar
- Tidak berkaitan
Di mana kelengkungan kurva berubah dari ke bawah menjadi ke atas?
- Pada μ
- Pada μ ± σ
- Pada μ ± 3σ
- Tidak di mana pun
Jumlah karyawan restoran menceng kanan. Apakah luas kurva normal sebaiknya digunakan?
- Ya, selalu
- Tidak, datanya tidak mendekati normal
- Hanya untuk rata-rata
- Hanya dengan 3D

Poin penting

Kurva normal adalah lonceng simetris yang ditentukan μ (pusat) dan σ (lebar); total luasnya 1.
Luas di bawah kurva antara dua nilai = proporsi nilai di antaranya.
Data nyata paling jauh hanya mendekati normal; periksa bentuknya dahulu.

Sumber kursus ini (7)

OpenStax, Introductory Statistics 2e by Barbara Illowsky and Susan Dean (, per the page notice on 2026-10-17): 2.2 frequency tables, relative and cumulative frequency, frequency polygons (calculus final test scores 5, 10, 30, 40, 15; ages of US presidents at inauguration in six classes)
the 100 soccer player heights, the 50 students' books, the 25 classmates' weekend video game hours and the 22 New York restaurant staff counts (openstax.org/books/introductory-statistics-2e/pages/2-2-histograms-frequency-polygons-and-time-series-graphs)
6.1 the standard normal distribution, z-scores, the empirical rule, X ~ N(5, 6)
heights of Chilean males aged 15 to 18 N(170, 6.28) for 2009 to 2010 and N(172.36, 6.34) for 1984 to 1985, SAT verbal 2012 N(496, 114) with 1,664,479 test takers, Jerome N(16, 4) (openstax.org/books/introductory-statistics-2e/pages/6-1-the-standard-normal-distribution)
De Moivre and the normal approximation to coin flips: D. Lane, Online Statistics Education, 7.2 History of the Normal Distribution (stats.libretexts.org, Introductory Statistics (Lane) 7.2)
EBSCO Research Starters, "De Moivre Describes the Bell-Shaped Curve" (1733)
Quetelet's chest measurements of 5,738 Scottish militiamen (Quetelet 1846, from an 1817 source; Stigler 1986 corrections): R package HistData, ChestSizes and ChestStigler (vincentarelbundock.github.io/Rdatasets/doc/HistData/ChestSizes.html).

Diperiksa: 2026-10-17