Home›Kansrekening en statistiek›Verdelingen

De normale kromme

Quetelets 5738 borstmaten hebben gemiddelde 39.83 inch en standaardafwijking 2.05. Een normale kromme met die getallen voorspelt 1102 mannen bij 40 inch; in de tabel staan er 1079.

Veel gemeten grootheden, van lengtes en toetsscores tot fouten bij herhaalde metingen, vormen dezelfde klokvorm. De meeste waarden liggen rond het midden, steeds minder naar de zijkanten, en beide kanten zijn elkaars spiegelbeeld. De gladde kromme die deze vorm beschrijft heet de normale kromme. Een variabele die deze volgt heeft een normale verdeling. Het is het meest gebruikte model in de statistiek.

Twee getallen bepalen de kromme

Elke normale kromme ligt vast met twee getallen. Het gemiddelde μ bepaalt waar de top staat en de standaardafwijking σ hoe breed de klok is. OpenStax schrijft X ~ N(μ, σ). Verander μ en de hele kromme verschuift langs de as zonder van vorm te veranderen. Verander σ en de kromme wordt breder of smaller. Een grotere σ geeft een lagere, bredere klok, want de totale oppervlakte onder elke normale kromme is precies 1. De kromme is symmetrisch rond μ, dus gemiddelde, mediaan en modus zijn gelijk. Bij μ − σ en μ + σ verandert de kromming van neerwaarts naar opwaarts. Daarmee kun je σ makkelijk in een tekening herkennen.

Laden

Sleep om te draaien. Scroll of knijp om te zoomen.

De normale kromme aangepast aan Quetelets borstmaten: N(39.83, 2.05). Verplaats μ en de kromme verschuift; verplaats σ en die wordt breder of smaller. Zet ‘Inkleuren’ op ‘Links van x’ en sleep in de grafiek. De gekleurde oppervlakte is het aandeel soldaten onder x.

Oppervlakte is aandeel

Bij een histogram met relatieve frequenties is het aandeel waarden binnen een interval de oppervlakte van de staven boven dat interval. Bij een normale kromme werkt het net zo. De oppervlakte onder de kromme tussen twee waarden is het aandeel van de populatie ertussen. Dat is ook de kans dat één willekeurig gekozen waarde daar valt. Door de symmetrie is de oppervlakte links van μ precies 0.5. Oppervlakten voor andere intervallen vind je in een tabel of met een rekenmachine. In de simulatie worden ze voor je berekend en in het paneel getoond.

Quetelets 5738 borstmetingen (staven) en de normale kromme met hetzelfde gemiddelde en dezelfde standaardafwijking (rood).

AchtergrondDe kromme werd oorspronkelijk gevonden als rekenhulpmiddel. In de jaren 1700 kreeg de Londense wiskundige Abraham de Moivre vaak vragen van gokkers over kansen. Voor vragen zoals de kans op 60 of meer keer kop bij 100 muntworpen moest hij tientallen binomiale kansen met de hand optellen. Hij merkte dat de staven van de binomiale verdeling bij meer worpen een steeds gladdere kromme vormden. In 1733 vond hij daarvoor een formule. Een eeuw later paste de Belgische astronoom Adolphe Quetelet de kromme niet alleen toe op spelen en de sterrenhemel, maar ook op mensen. In 1846 publiceerde hij de borstmaten van 5738 Schotse militieleden, overgenomen uit een bron uit 1817, en liet zien dat ze de klokvorm nauw volgden. Op zulke krommen baseerde hij zijn idee van ‘de gemiddelde mens’. Stephen Stigler vergeleek Quetelets tabel later met het origineel en vond overschrijffouten. Zijn gecorrigeerde tabel bevat 168 mannen bij 44 inch, niet 92. Daarmee verdwijnt op dat punt het grootste deel van het verschil met de kromme.

Een model, geen wet

Geen echte gegevensverzameling is exact normaal verdeeld. De borstmaten zijn in gehele inches gemeten, terwijl de kromme glad is. De kromme heeft staarten die nooit helemaal nul bereiken, terwijl borstmaten een minimum en maximum hebben. En de aantallen schommelen rond de kromme. Statistici noemen een verdeling ‘bij benadering normaal’ als een kromme met hetzelfde gemiddelde en dezelfde standaardafwijking goed genoeg past bij de vraag. Scheve gegevens, zoals de aantallen restaurantmedewerkers, zijn niet bij benadering normaal. Antwoorden op basis van de normale kromme kunnen dan sterk afwijken.

Normale verdeling	Symmetrische klokvormige verdeling N(μ, σ)
μ	Gemiddelde: waar de top staat
σ	Standaardafwijking: hoe breed de klok is
Totale oppervlakte	Precies 1
Oppervlakte tussen a en b	Aandeel (kans) van waarden tussen a en b
de Moivre, 1733	Vond de kromme als benadering voor aantallen kop bij muntworpen

Welk getal verschuift de normale kromme naar links of rechts zonder de vorm te veranderen?
- μ
- σ
- n
- De oppervlakte
σ verdubbelt. Wat gebeurt er met de hoogte van de top?
- Verdubbelt
- Halveert
- Blijft gelijk
- Wordt 1
Wat is de oppervlakte onder de hele normale kromme?
Wat is de oppervlakte links van het gemiddelde?
Borstmaten van Quetelet: welk aandeel was 39, 40 of 41 inch (1073 + 1079 + 934 van 5738)? In procenten, op één decimaal.
Hoeveel soldaten hadden een borstomvang van 37 inch of minder? (3 + 18 + 81 + 185 + 420)
In welk jaar vond De Moivre de formule voor de kromme?
- 1654
- 1733
- 1846
- 1954
Bij een normale verdeling zijn gemiddelde, mediaan en modus...
- Allemaal gelijk
- Het gemiddelde is het grootst
- De mediaan is het grootst
- Zonder verband
Waar verandert de kromming van neerwaarts naar opwaarts?
- Bij μ
- Bij μ ± σ
- Bij μ ± 3σ
- Nergens
De aantallen restaurantmedewerkers zijn rechtsscheef. Gebruik je daarvoor oppervlakten onder de normale kromme?
- Ja, altijd
- Nee, ze zijn niet bij benadering normaal verdeeld
- Alleen voor het gemiddelde
- Alleen met 3D

Belangrijkste punten

Een normale kromme is een symmetrische klok, bepaald door μ (centrum) en σ (breedte), met totale oppervlakte 1.
Oppervlakte onder de kromme tussen twee waarden = aandeel waarden ertussen.
Echte gegevens zijn hoogstens bij benadering normaal verdeeld. Controleer eerst de vorm.

Bronnen van deze cursus (7)

OpenStax, Introductory Statistics 2e by Barbara Illowsky and Susan Dean (, per the page notice on 2026-10-17): 2.2 frequency tables, relative and cumulative frequency, frequency polygons (calculus final test scores 5, 10, 30, 40, 15; ages of US presidents at inauguration in six classes)
the 100 soccer player heights, the 50 students' books, the 25 classmates' weekend video game hours and the 22 New York restaurant staff counts (openstax.org/books/introductory-statistics-2e/pages/2-2-histograms-frequency-polygons-and-time-series-graphs)
6.1 the standard normal distribution, z-scores, the empirical rule, X ~ N(5, 6)
heights of Chilean males aged 15 to 18 N(170, 6.28) for 2009 to 2010 and N(172.36, 6.34) for 1984 to 1985, SAT verbal 2012 N(496, 114) with 1,664,479 test takers, Jerome N(16, 4) (openstax.org/books/introductory-statistics-2e/pages/6-1-the-standard-normal-distribution)
De Moivre and the normal approximation to coin flips: D. Lane, Online Statistics Education, 7.2 History of the Normal Distribution (stats.libretexts.org, Introductory Statistics (Lane) 7.2)
EBSCO Research Starters, "De Moivre Describes the Bell-Shaped Curve" (1733)
Quetelet's chest measurements of 5,738 Scottish militiamen (Quetelet 1846, from an 1817 source; Stigler 1986 corrections): R package HistData, ChestSizes and ChestStigler (vincentarelbundock.github.io/Rdatasets/doc/HistData/ChestSizes.html).

Geraadpleegd: 2026-10-17