68-95-99.7 규칙
2009~2010년 칠레 15~18세 남학생의 키는 평균 170 cm, 표준편차 6.28 cm였습니다. 그래서 약 95%가 157.44 cm와 182.56 cm 사이에 있었습니다.
정규분포 곡선은 그 너비가 얼마이든, 축 위 어디에 서 있든 상관없이, 평균에서의 거리를 표준편차 단위로 재면 넓이가 같습니다. 그래서 여기에서 머릿속에 넣고 다닐 수 있을 만큼 작은 규칙 하나가 나옵니다. 정규분포에서는 값의 약 68%가 평균에서 표준편차 1개 거리 안에 있고, 약 95%는 표준편차 2개 안에, 약 99.7%는 표준편차 3개 안에 있습니다. OpenStax는 이것을 경험 법칙이라고 부르고, 많은 사람들은 그냥 68-95-99.7 규칙이라고 부릅니다.
평균에서 표준편차 1개 안에 약 68%, 2개 안에 약 95%, 3개 안에 약 99.7%.
실제 숫자에 써 보기
OpenStax 교과서에 따르면 2009~2010년 칠레의 15~18세 남성의 키는 cm 단위로 N(170, 6.28)입니다. 평균에서 양쪽으로 표준편차 1개만큼 간 범위는 170 − 6.28 = 163.72 cm부터 170 + 6.28 = 176.28 cm까지이므로, 이 젊은 남성들 가운데 약 68%가 이 범위 안에 있었습니다. 양쪽으로 표준편차 2개는 157.44 cm부터 182.56 cm까지이고, 이 범위가 약 95%를 담습니다. 표준편차 3개는 151.16 cm부터 188.84 cm까지로 약 99.7%를 담습니다. 그러면 이 범위 바깥에는 1,000명에 3명꼴만 남습니다. 같은 나이 집단의 1984~1985년 키는 N(172.36, 6.34)이고, 이에 대해 책은 각각 166.02~178.7, 159.68~185.04, 153.34~191.38 cm라는 범위를 줍니다.
끌어서 돌리고, 휠이나 두 손가락으로 확대하세요.
정확한 값과 꼬리
이 규칙에 나오는 숫자들은 반올림한 값입니다. 넓이를 정확히 계산하면 68.27%, 95.45%, 99.73%가 나옵니다. 곡선이 대칭이므로, 띠 바깥에 남는 몫은 무엇이든 두 꼬리가 똑같이 반씩 나눠 갖습니다. 예를 들어 표준편차 1개 바깥에 있는 몫은 31.73%이므로, μ + σ 위에 15.87%, μ − σ 아래에 15.87%가 있습니다. 같은 방법으로 μ + 2σ 위에는 약 2.28%가 있습니다. 또 평균보다 위쪽으로 표준편차 1개와 2개 사이에는 95.45% ÷ 2 − 68.27% ÷ 2 ≈ 13.59%가 있습니다. 이 몇 개의 숫자만 알고 있으면 표를 찾아보지 않고도 많은 질문에 답할 수 있습니다.
실제 자료로 규칙 확인하기
케틀레의 가슴둘레 5,738개는 평균 39.83인치, 표준편차 2.05인치입니다. 이 자료에서 직접 세어 보면 평균에서 표준편차 1개 안에 66.8%, 2개 안에 95.3%, 3개 안에 99.5%가 있습니다. 이 값들은 68, 95, 99.7에 가깝습니다. 이것은 이 자료가 근사적으로 정규분포라는 말을 다른 방식으로 한 것과 같습니다. 하지만 한쪽으로 치우친 자료에서는 이 규칙이 맞지 않습니다. 예를 들어 기다리는 시간처럼 오른쪽 꼬리가 긴 분포에서는 표준편차 1개 안의 몫이 68%와 크게 다를 수 있습니다. 이것은 이 과정의 마지막 단원에서 직접 보게 됩니다.
드문 값 찾기와 거꾸로 쓰기
이 규칙은 어떤 값이 얼마나 드문 값인지도 알려 줍니다. 정규분포를 따르는 모집단에서 표준편차 2개 바깥에는 4.55%, 즉 약 22개에 1개가 있습니다. 표준편차 3개 바깥에는 0.27%, 즉 약 370개에 1개만 있습니다. 예를 들어 2009~2010년에 키가 190 cm인 칠레의 15~18세 남성은 z = (190 − 170) ÷ 6.28 ≈ 3.18이므로 그 키는 이 집단에서 아주 드문 키입니다. 이 규칙은 거꾸로 거슬러 올라가며 쓸 수도 있습니다. OpenStax는 평균이 52점, 표준편차가 11점인 대학 입학시험을 예로 듭니다. 이 시험에서는 점수의 약 68%가 41점과 63점 사이에 있고, 약 95%가 30점과 74점 사이, 약 99.7%가 19점과 85점 사이에 있습니다. 그러니 68% 범위만 알고 있어도, 그 범위의 가운데가 평균이고 범위 너비의 절반이 표준편차입니다.
| 평균 ± 1σ 안 | 약 68%(68.27%) |
| 평균 ± 2σ 안 | 약 95%(95.45%) |
| 평균 ± 3σ 안 | 약 99.7%(99.73%) |
| μ + σ 위 | 약 16%(15.87%) |
| μ + 2σ 위 | 약 2.5%(2.28%) |
- N(170, 6.28): 68% 범위의 아래 끝은?
- N(170, 6.28): 95% 범위의 위 끝은?
- N(172.36, 6.34): 99.7% 범위의 아래 끝은?
- N(50, 6): 값의 약 95%는 38과 몇 사이에 있나요?
- 정규 모집단에서 μ + σ 위에는 약 몇 %가 있나요?(소수 둘째 자리)
- μ + σ와 μ + 2σ 사이는 몇 %인가요?(소수 둘째 자리)
- 정규분포 값 1,000개 가운데 평균에서 3σ보다 멀리 떨어진 값은 약 몇 개인가요?
- 케틀레 가슴둘레(평균 39.83, s 2.05): 2σ 범위의 아래 끝을 소수 둘째 자리까지?
- 가슴둘레를 세면 66.8%, 95.3%, 99.5%입니다. 무엇을 뜻하나요?
- 자료가 근사적으로 정규분포
- 자료가 치우침
- 규칙이 틀림
- 이상값만 있음
- 68-95-99.7 규칙은 심하게 치우친 자료에도 맞나요?
- 예, 모든 자료에
- 아니요, 근사적으로 정규분포인 자료에만
- 99.7에만
- 작은 표본에만
- 정규분포의 약 68%, 95%, 99.7%가 평균 ± 1σ, 2σ, 3σ 안에 있음.
- 정확한 값 68.27%, 95.45%, 99.73%. 바깥은 두 꼬리가 반씩.
- 자료가 근사적으로 정규분포일 때만 씀.
이 과정의 출처 (7)
- OpenStax, Introductory Statistics 2e by Barbara Illowsky and Susan Dean (, per the page notice on 2026-10-17): 2.2 frequency tables, relative and cumulative frequency, frequency polygons (calculus final test scores 5, 10, 30, 40, 15; ages of US presidents at inauguration in six classes)
- the 100 soccer player heights, the 50 students' books, the 25 classmates' weekend video game hours and the 22 New York restaurant staff counts (openstax.org/books/introductory-statistics-2e/pages/2-2-histograms-frequency-polygons-and-time-series-graphs)
- 6.1 the standard normal distribution, z-scores, the empirical rule, X ~ N(5, 6)
- heights of Chilean males aged 15 to 18 N(170, 6.28) for 2009 to 2010 and N(172.36, 6.34) for 1984 to 1985, SAT verbal 2012 N(496, 114) with 1,664,479 test takers, Jerome N(16, 4) (openstax.org/books/introductory-statistics-2e/pages/6-1-the-standard-normal-distribution)
- De Moivre and the normal approximation to coin flips: D. Lane, Online Statistics Education, 7.2 History of the Normal Distribution (stats.libretexts.org, Introductory Statistics (Lane) 7.2)
- EBSCO Research Starters, "De Moivre Describes the Bell-Shaped Curve" (1733)
- Quetelet's chest measurements of 5,738 Scottish militiamen (Quetelet 1846, from an 1817 source; Stigler 1986 corrections): R package HistData, ChestSizes and ChestStigler (vincentarelbundock.github.io/Rdatasets/doc/HistData/ChestSizes.html).
확인한 날: 2026-10-17