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68-95-99.7の法則

2009年から2010年のチリの15〜18歳男性の身長は平均170 cm、標準偏差6.28 cmだったので、約95%が157.44〜182.56 cmに入ります。

どんな幅、位置の正規曲線でも、平均値からの距離を標準偏差で測れば面積は共通です。そのため、覚えやすい法則が得られます。平均値から標準偏差一つ分以内に約68%、二つ分以内に約95%、三つ分以内に約99.7%の値が入ります。OpenStaxは経験則と呼び、68-95-99.7の法則とも広く呼ばれます。

平均値から標準偏差1、2、3個分以内の正規曲線の面積です。

平均値から標準偏差一つ分以内に約68%、二つ分以内に約95%、三つ分以内に約99.7%が入ります。

実際の数値で使う

OpenStaxでは2009年から2010年のチリの15〜18歳男性の身長を、cm単位でN(170, 6.28)としています。標準偏差一つ分の範囲は170 − 6.28 = 163.72から170 + 6.28 = 176.28 cmで、約68%が入ります。二つ分は157.44〜182.56 cmで約95%、三つ分は151.16〜188.84 cmで約99.7%です。範囲外は1,000人中わずか3人です。同じ集団の1984年から1985年の分布N(172.36, 6.34)について、同書の範囲は166.02〜178.7、159.68〜185.04、153.34〜191.38 cmです。

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チリの15〜18歳男性の身長N(170, 6.28) cmで、2σ以内を塗っています。「塗る範囲」を1σ、2σ、3σに切り替え、正確な面積をパネルで読みます。

正確な値と両側の裾

法則の値は丸めてあります。正確には68.27%、95.45%、99.73%です。曲線は対称なので、範囲外の部分は両側の裾に半分ずつ分かれます。標準偏差一つ分の外側は31.73%で、μ + σより上とμ − σより下にそれぞれ15.87%があります。μ + 2σより上は約2.28%です。平均値より標準偏差一つ分から二つ分の間は95.45% ÷ 2 − 68.27% ÷ 2 ≈ 13.59%です。この少数の数値で、表なしでも多くの問いに答えられます。

実データを法則と比べる

ケトレーの胸囲5,738件は平均39.83インチ、標準偏差2.05インチです。実際に数えると、平均値から標準偏差一つ分以内に66.8%、二つ分以内に95.3%、三つ分以内に99.5%が入ります。68、95、99.7に近く、ほぼ正規分布だといえる別の根拠です。偏ったデータにはこの法則は成り立ちません。待ち時間のように右に長い裾があると、一つ分以内の割合が68%から大きく外れることがあります。最後の単元で確かめます。

珍しい値を見つけ、逆向きに考える

この法則は値の珍しさも教えてくれます。正規母集団で標準偏差二つ分の外側は4.55%、約22個に1個、三つ分の外側は0.27%、約370個に1個です。2009年から2010年のチリの15〜18歳男性で身長190 cmなら、z = (190 − 170) ÷ 6.28 ≈ 3.18で、その集団では珍しい身長です。逆向きにも使えます。OpenStaxの平均52、標準偏差11の大学入試では、約68%が41〜63、約95%が30〜74、約99.7%が19〜85です。68%の範囲だけが分かっていれば、中央が平均値、幅の半分が標準偏差です。

1σ以内約68%（68.27%）
2σ以内約95%（95.45%）
3σ以内約99.7%（99.73%）
μ + σより上約16%（15.87%）
μ + 2σより上約2.5%（2.28%）
  1. N(170, 6.28)で、68%の範囲の下端は？
  2. N(170, 6.28)で、95%の範囲の上端は？
  3. N(172.36, 6.34)で、99.7%の範囲の下端は？
  4. N(50, 6)では、約95%の値は38からいくつまでに入りますか？
  5. 正規母集団の約何%がμ + σより上ですか？（小数第2位まで）
  6. μ + σとμ + 2σの間は何%ですか？（小数第2位まで）
  7. 正規分布からの1,000個の値のうち、平均値から3σを超えて離れるものは約何個ですか？
  8. ケトレーの胸囲（平均39.83、sは2.05）で、2σの範囲の下端を小数第2位まで求めてください。
  9. 胸囲を数えると66.8%、95.3%、99.5%でした。何が示唆されますか？
    • データはほぼ正規分布である
    • データには偏りがある
    • 法則が間違っている
    • 外れ値しかない
  10. 偏りの強いデータに68-95-99.7の法則は使えますか？
    • はい、すべてのデータに使える
    • いいえ、ほぼ正規分布のデータに使う
    • 99.7だけ使える
    • 小さい標本だけに使える
ポイント
  • 正規分布では、平均値から標準偏差1、2、3個分以内に、約68%、95%、99.7%が入ります。
  • 正確には68.27%、95.45%、99.73%で、外側は両方の裾に等しく分かれます。
  • データがほぼ正規分布のときだけ使います。
このコースの出典 (7)
  • OpenStax, Introductory Statistics 2e by Barbara Illowsky and Susan Dean (, per the page notice on 2026-10-17): 2.2 frequency tables, relative and cumulative frequency, frequency polygons (calculus final test scores 5, 10, 30, 40, 15; ages of US presidents at inauguration in six classes)
  • the 100 soccer player heights, the 50 students' books, the 25 classmates' weekend video game hours and the 22 New York restaurant staff counts (openstax.org/books/introductory-statistics-2e/pages/2-2-histograms-frequency-polygons-and-time-series-graphs)
  • 6.1 the standard normal distribution, z-scores, the empirical rule, X ~ N(5, 6)
  • heights of Chilean males aged 15 to 18 N(170, 6.28) for 2009 to 2010 and N(172.36, 6.34) for 1984 to 1985, SAT verbal 2012 N(496, 114) with 1,664,479 test takers, Jerome N(16, 4) (openstax.org/books/introductory-statistics-2e/pages/6-1-the-standard-normal-distribution)
  • De Moivre and the normal approximation to coin flips: D. Lane, Online Statistics Education, 7.2 History of the Normal Distribution (stats.libretexts.org, Introductory Statistics (Lane) 7.2)
  • EBSCO Research Starters, "De Moivre Describes the Bell-Shaped Curve" (1733)
  • Quetelet's chest measurements of 5,738 Scottish militiamen (Quetelet 1846, from an 1817 source; Stigler 1986 corrections): R package HistData, ChestSizes and ChestStigler (vincentarelbundock.github.io/Rdatasets/doc/HistData/ChestSizes.html).

確認日: 2026-10-17