Правило 68-95-99.7
В 2009–2010 годах средний рост чилийских юношей от 15 до 18 лет составлял 170 см при стандартном отклонении 6.28 см. Поэтому около 95% имели рост от 157.44 до 182.56 см.
У всех нормальных кривых, независимо от ширины и положения, площади одинаковы, если расстояние от среднего измерять стандартными отклонениями. Отсюда простое правило, которое легко запомнить. Около 68% значений лежат в пределах одного стандартного отклонения от среднего, около 95% в пределах двух, около 99.7% в пределах трёх. OpenStax называет его эмпирическим правилом; часто говорят просто «правило 68-95-99.7».
В пределах одного стандартного отклонения от среднего: около 68%. В пределах двух: около 95%. В пределах трёх: около 99.7%.
Применение к реальным числам
OpenStax описывает рост чилийских юношей от 15 до 18 лет за 2009–2010 годы распределением N(170, 6.28) в сантиметрах. По одному стандартному отклонению в обе стороны: от 170 − 6.28 = 163.72 до 170 + 6.28 = 176.28 см. В этот диапазон попадает около 68% юношей. Два стандартных отклонения дают диапазон от 157.44 до 182.56 см, охватывающий около 95%. Три дают от 151.16 до 188.84 см и около 99.7%, оставляя снаружи лишь 3 из 1000. Для такой же возрастной группы за 1984–1985 годы, N(172.36, 6.34), в книге указаны диапазоны от 166.02 до 178.7, от 159.68 до 185.04 и от 153.34 до 191.38 см.
Перетащи, чтобы повернуть. Для изменения масштаба прокрути колёсико или сведи и разведи два пальца.
Точные значения и хвосты
Правило округляет числа. Точные площади равны 68.27%, 95.45% и 99.73%. Из-за симметрии всё, что находится за полосой, поровну делится между хвостами. За пределами одного стандартного отклонения лежит 31.73%, поэтому выше μ + σ находится 15.87% и ниже μ − σ тоже 15.87%. Выше μ + 2σ лежит около 2.28%. Между одним и двумя стандартными отклонениями выше среднего находится 95.45% ÷ 2 − 68.27% ÷ 2 ≈ 13.59%. Этих нескольких чисел хватит для многих задач без таблицы.
Проверка правила на реальных данных
Для 5738 измерений Кетле среднее равно 39.83, стандартное отклонение 2.05 дюйма. Прямой подсчёт показывает: в пределах одного стандартного отклонения от среднего находятся 66.8% мужчин, двух 95.3%, трёх 99.5%. Это близко к 68, 95 и 99.7, то есть данные приблизительно нормальны. Для скошенных данных правило не работает. Например, при распределении времени ожидания с длинным правым хвостом доля в пределах одного стандартного отклонения может сильно отличаться от 68%; это будет видно в последнем разделе.
Необычные значения и обратные вычисления
Правило помогает оценить редкость значения. За пределами двух стандартных отклонений лежит 4.55% нормальной совокупности, примерно 1 значение из 22. За пределами трёх лежит 0.27%, примерно 1 из 370. У чилийского юноши от 15 до 18 лет ростом 190 см в 2009–2010 годах z = (190 − 170) ÷ 6.28 ≈ 3.18, поэтому такой рост в этой группе редок. Правило работает и в обратную сторону. OpenStax описывает вступительный экзамен в колледж со средним 52 и стандартным отклонением 11: около 68% баллов лежат между 41 и 63, около 95% между 30 и 74, около 99.7% между 19 и 85. Если известен только диапазон 68%, его середина даёт среднее, а половина ширины даёт стандартное отклонение.
| В пределах 1σ | Около 68% (68.27%) |
| В пределах 2σ | Около 95% (95.45%) |
| В пределах 3σ | Около 99.7% (99.73%) |
| Выше μ + σ | Около 16% (15.87%) |
| Выше μ + 2σ | Около 2.5% (2.28%) |
- N(170, 6.28): нижняя граница диапазона 68%?
- N(170, 6.28): верхняя граница диапазона 95%?
- N(172.36, 6.34): нижняя граница диапазона 99.7%?
- N(50, 6): около 95% значений лежат между 38 и каким числом?
- Примерно какой процент нормальной совокупности лежит выше μ + σ? (два десятичных знака)
- Процент между μ + σ и μ + 2σ? (два десятичных знака)
- Среди 1000 значений нормального распределения примерно сколько удалены от среднего больше чем на 3σ?
- Обхват груди у Кетле (среднее 39.83, s 2.05): нижняя граница диапазона 2σ с двумя десятичными знаками?
- Подсчёт измерений даёт 66.8%, 95.3% и 99.5%. О чём это говорит?
- Данные приблизительно нормальны
- Данные скошены
- Правило неверно
- Есть только выбросы
- Применимо ли правило 68-95-99.7 к сильно скошенным данным?
- Да, к любым данным
- Нет, оно для приблизительно нормальных данных
- Только для 99.7
- Только для малых выборок
- Около 68%, 95% и 99.7% нормального распределения лежат в пределах 1, 2 и 3 стандартных отклонений от среднего.
- Точные значения: 68.27%, 95.45%, 99.73%; внешняя область поровну делится между хвостами.
- Применяй правило только к приблизительно нормальным данным.
Источники курса (7)
- OpenStax, Introductory Statistics 2e by Barbara Illowsky and Susan Dean (, per the page notice on 2026-10-17): 2.2 frequency tables, relative and cumulative frequency, frequency polygons (calculus final test scores 5, 10, 30, 40, 15; ages of US presidents at inauguration in six classes)
- the 100 soccer player heights, the 50 students' books, the 25 classmates' weekend video game hours and the 22 New York restaurant staff counts (openstax.org/books/introductory-statistics-2e/pages/2-2-histograms-frequency-polygons-and-time-series-graphs)
- 6.1 the standard normal distribution, z-scores, the empirical rule, X ~ N(5, 6)
- heights of Chilean males aged 15 to 18 N(170, 6.28) for 2009 to 2010 and N(172.36, 6.34) for 1984 to 1985, SAT verbal 2012 N(496, 114) with 1,664,479 test takers, Jerome N(16, 4) (openstax.org/books/introductory-statistics-2e/pages/6-1-the-standard-normal-distribution)
- De Moivre and the normal approximation to coin flips: D. Lane, Online Statistics Education, 7.2 History of the Normal Distribution (stats.libretexts.org, Introductory Statistics (Lane) 7.2)
- EBSCO Research Starters, "De Moivre Describes the Bell-Shaped Curve" (1733)
- Quetelet's chest measurements of 5,738 Scottish militiamen (Quetelet 1846, from an 1817 source; Stigler 1986 corrections): R package HistData, ChestSizes and ChestStigler (vincentarelbundock.github.io/Rdatasets/doc/HistData/ChestSizes.html).
Проверено: 2026-10-17