z점수

2012년 SAT 언어 영역 점수는 평균 496, 표준편차 114였습니다. 그래서 325점의 z점수는 (325 − 496) ÷ 114 = −1.5입니다.

원래 점수 하나만 따로 놓고 보면 그것으로 알 수 있는 것이 별로 없습니다. 168 cm는 큰 키일까요? 한 경기에서 10점을 냈다면 잘한 걸까요? 그 답은 그 집단에서 어떤 값이 보통인지, 그리고 그 집단의 값들이 얼마나 퍼져 있는지에 달려 있습니다. z점수는 이 두 가지 질문에 한꺼번에 답해 줍니다. z점수는 어떤 값이 평균보다 표준편차 몇 개만큼 위에 있는지, 또는 아래에 있는지를 알려 줍니다. 그래서 완전히 다른 눈금으로 잰 값끼리도 서로 비교할 수 있게 해 줍니다.

공식

평균이 μ이고 표준편차가 σ인 분포에서, 어떤 값 x의 z점수는 z = (x − μ) ÷ σ입니다. z가 양수이면 x가 평균보다 크다는 뜻이고, 음수이면 평균보다 작다는 뜻이며, z = 0이면 x가 평균과 똑같다는 뜻입니다. 이 식을 거꾸로 풀어 쓰면 x = μ + zσ가 됩니다. OpenStax에 나오는 첫 번째 예는 X ~ N(5, 6)이고 x = 17인 경우입니다. z = (17 − 5) ÷ 6 = 2이므로 17은 평균보다 표준편차 2개만큼 위에 있는 값입니다. 같은 분포에서 x = 1이라면 z = (1 − 5) ÷ 6 ≈ −0.67입니다.

눈금이 다른 값 비교하기

OpenStax는 6주 동안 몸무게를 늘리려고 애쓰는 두 집단을 비교합니다. 파운드 단위로 X ~ N(5, 6), Y ~ N(2, 1)입니다. 첫째 집단에서 17파운드가 늘어난 것과 둘째 집단에서 4파운드가 늘어난 것은 아주 달라 보이지만, 둘 다 z = 2입니다. 그러니 각자 자기 집단 안에서 보면 두 값은 똑같이 드문 값입니다. 서로 다른 시대의 키를 비교할 때도 같은 방법이 통합니다. 칠레 15~18세 남성은 2009~2010년 N(170, 6.28), 1984~1985년 N(172.36, 6.34)이었습니다. 앞 시기의 키 160.58 cm와 뒤 시기의 키 162.85 cm는 숫자는 다르지만 둘 다 z = −1.5입니다.

z에서 백분위로

정규분포에서는 z점수 하나가 그 값 왼쪽의 넓이를 정하고, 그 넓이가 바로 백분위입니다. 예를 들어 z = 0은 50번째 백분위입니다. z = 1이면 그 값 아래쪽에 약 84.13%가 있습니다. z = −1.5이면 아래쪽은 약 6.68%이므로, 점수가 정규분포라면 SAT 325점은 전체 점수의 약 6.7%보다만 높았습니다. 2012년 SAT 응시자는 모두 1,664,479명이었습니다. 그러니 약 15.87%인 약 26만 4천 명이 496 + 114 = 610점보다 높았을 것입니다. 2009~2010년 키 168 cm인 칠레 남성은 z = (168 − 170) ÷ 6.28 ≈ −0.32로 37번째와 38번째 백분위 사이입니다. 이 단원의 실험실은 x를 옮길 때마다 이 넓이를 계산해서 보여 줍니다.

정규분포가 아닌 자료의 z점수

z점수는 어떤 자료이든, 그 안의 어떤 값에 대해서든 계산할 수 있습니다. 분포의 모양이 어떻든 z점수는 여전히 그 값이 평균에서 표준편차 몇 개만큼 떨어져 있는지를 말해 줍니다. 분포가 정규분포가 아닐 때 달라지는 것은 z점수와 백분위 사이의 연결입니다. 게임 시간 자료에서 0시간인 학생은 z ≈ −2.24이지만, 값이 25개뿐이고 왼쪽 꼬리 모양이라 정규분포표가 주는 그 아래 1.2%라는 숫자는 뜻이 적습니다. 실제 자료에서는 25개 가운데 1개, 즉 4%가 그 자리나 그 아래에 있습니다. 한 집단 안에서 값들의 위치를 비교하는 데에는 z를 마음껏 쓰되, 정규분포 곡선의 백분위는 모양이 종에 가까울 때만 쓰세요.