Puntuaciones z
En el SAT de 2012, las puntuaciones verbales tenían media 496 y desviación estándar 114, así que una puntuación de 325 tiene z = (325 − 496) ÷ 114 = −1.5.
Una puntuación bruta por sí sola dice poco. ¿168 cm es alto? ¿10 puntos es un buen partido? Depende de lo habitual en el grupo y de su dispersión. Una puntuación z responde a ambas cuestiones: indica cuántas desviaciones estándar está un valor por encima o por debajo de la media y permite comparar valores de escalas totalmente distintas.
La fórmula
La puntuación z de un valor x de una distribución con media μ y desviación estándar σ es z = (x − μ) ÷ σ. Una z positiva indica que x supera la media; una negativa, que está por debajo; z = 0 indica que coincide con ella. A la inversa, x = μ + zσ. El primer ejemplo de OpenStax es X ~ N(5, 6) y x = 17: z = (17 − 5) ÷ 6 = 2, así que 17 está dos desviaciones estándar por encima de la media. Para x = 1 en esa distribución, z = (1 − 5) ÷ 6 ≈ −0.67.
Comparar escalas distintas
OpenStax compara dos grupos que intentan ganar peso durante seis semanas: X ~ N(5, 6) e Y ~ N(2, 1), en libras. Ganar 17 en el primer grupo y 4 en el segundo parece muy distinto, pero ambos tienen z = 2. Respecto a sus grupos, son igual de inusuales. Lo mismo sirve para comparar estaturas entre décadas. Los varones chilenos de 15 a 18 años tenían N(170, 6.28) en 2009 a 2010 y N(172.36, 6.34) en 1984 a 1985. Una estatura de 160.58 cm en el primer periodo y de 162.85 cm en el segundo tienen ambas z = −1.5.
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De z a un percentil
En una distribución normal, la puntuación z determina el área a la izquierda, es decir, el percentil. z = 0 corresponde al percentil 50. z = 1 deja aproximadamente el 84.13% por debajo. z = −1.5 deja aproximadamente el 6.68% por debajo: una nota de 325 en el SAT solo superaba alrededor del 6.7% de las notas, si eran normales. En el SAT de 2012 participaron 1 664 479 personas; aproximadamente el 15.87%, unos 264 000 estudiantes, habría superado 496 + 114 = 610. Un chileno de 168 cm en 2009 a 2010 tiene z = (168 − 170) ÷ 6.28 ≈ −0.32, entre los percentiles 37 y 38. El laboratorio muestra estas áreas al mover x.
Puntuaciones z para datos no normales
Se puede calcular una puntuación z para cualquier valor de cualquier conjunto: sigue indicando a cuántas desviaciones estándar está de la media. Lo que cambia es la relación con los percentiles. En las horas de videojuegos, quien jugó 0 horas tiene z ≈ −2.24, pero con solo 25 valores y asimetría a la izquierda, el 1.2% que da la tabla normal por debajo de ese punto dice poco; de hecho, 1 de los 25 valores, el 4%, es igual o inferior. Usa z para comparar posiciones dentro de un grupo, pero usa percentiles normales solo si la forma se parece a una campana.
| Puntuación z | (x − μ) ÷ σ: desviaciones estándar respecto a la media |
| Volver a x | x = μ + zσ |
| z = 0 | El valor coincide con la media; percentil 50 |
| z = 1 | Aproximadamente el 84% por debajo |
| z = −1.5 | Aproximadamente el 6.7% por debajo |
| Normal estándar | N(0, 1), la distribución de las puntuaciones z |
- X ~ N(12, 3) y x = 1. ¿z, con dos decimales?
- Jerome promedia 16 puntos con σ = 4. ¿z para un partido de 10 puntos?
- Pérdida de peso X ~ N(5, 2) libras. ¿z para una pérdida de 10 libras?
- La misma X ~ N(5, 2). ¿z para un aumento de 3 libras (x = −3)?
- N(170, 6.28): ¿estatura con z = 1.27, con dos decimales?
- N(170, 6.28): ¿estatura con z = −2?
- SAT 2012 N(496, 114): ¿z de 366.21, con dos decimales?
- ¿Qué porcentaje de una población normal está por debajo de z = 1.5? (dos decimales)
- x = 17 en N(5, 6) e y = 4 en N(2, 1). ¿Cuál es más inusual dentro de su grupo?
- x = 17
- y = 4
- Igual de inusuales
- No se puede saber
- Una puntuación z de −0.32 significa que el valor está...
- 0.32 desviaciones estándar por encima de la media
- 0.32 desviaciones estándar por debajo de la media
- Un 32% por debajo
- 32 unidades por debajo
- z = (x − μ) ÷ σ cuenta desviaciones estándar respecto a la media; x = μ + zσ.
- Puntuaciones z iguales indican valores igual de inusuales, incluso en escalas distintas.
- En datos normales, z determina el percentil: z = 1 corresponde aproximadamente al 84; z = −1.5, al 7.
Fuentes de este curso (7)
- OpenStax, Introductory Statistics 2e by Barbara Illowsky and Susan Dean (, per the page notice on 2026-10-17): 2.2 frequency tables, relative and cumulative frequency, frequency polygons (calculus final test scores 5, 10, 30, 40, 15; ages of US presidents at inauguration in six classes)
- the 100 soccer player heights, the 50 students' books, the 25 classmates' weekend video game hours and the 22 New York restaurant staff counts (openstax.org/books/introductory-statistics-2e/pages/2-2-histograms-frequency-polygons-and-time-series-graphs)
- 6.1 the standard normal distribution, z-scores, the empirical rule, X ~ N(5, 6)
- heights of Chilean males aged 15 to 18 N(170, 6.28) for 2009 to 2010 and N(172.36, 6.34) for 1984 to 1985, SAT verbal 2012 N(496, 114) with 1,664,479 test takers, Jerome N(16, 4) (openstax.org/books/introductory-statistics-2e/pages/6-1-the-standard-normal-distribution)
- De Moivre and the normal approximation to coin flips: D. Lane, Online Statistics Education, 7.2 History of the Normal Distribution (stats.libretexts.org, Introductory Statistics (Lane) 7.2)
- EBSCO Research Starters, "De Moivre Describes the Bell-Shaped Curve" (1733)
- Quetelet's chest measurements of 5,738 Scottish militiamen (Quetelet 1846, from an 1817 source; Stigler 1986 corrections): R package HistData, ChestSizes and ChestStigler (vincentarelbundock.github.io/Rdatasets/doc/HistData/ChestSizes.html).
Fecha de consulta: 2026-10-17