Punteggi z
Nel SAT del 2012 i punteggi della parte verbale avevano media 496 e deviazione standard 114: un punteggio di 325 ha quindi z = (325 − 496) ÷ 114 = −1.5.
Un punteggio grezzo da solo dice poco. 168 cm è un'altezza elevata? Una partita da 10 punti è buona? Dipende da ciò che è abituale nel gruppo e dalla dispersione dei suoi valori. Un punteggio z risponde a entrambe le domande: indica di quante deviazioni standard un valore è sopra o sotto la media e permette così di confrontare valori misurati su scale completamente diverse.
La formula
Il punteggio z di un valore x in una distribuzione con media μ e deviazione standard σ è z = (x − μ) ÷ σ. Se z è positivo, x è sopra la media; se è negativo, è sotto; z = 0 indica che x coincide con la media. Invertendo la formula, x = μ + zσ. Il primo esempio di OpenStax è X ~ N(5, 6) e x = 17: z = (17 − 5) ÷ 6 = 2, quindi 17 è due deviazioni standard sopra la media. Per x = 1 nella stessa distribuzione, z = (1 − 5) ÷ 6 ≈ −0.67.
Confrontare scale diverse
OpenStax confronta due gruppi che cercano di aumentare di peso in sei settimane: X ~ N(5, 6) e Y ~ N(2, 1), in libbre. Un aumento di 17 nel primo gruppo e di 4 nel secondo sembrano molto diversi, ma entrambi hanno z = 2. Rispetto ai propri gruppi sono ugualmente insoliti. Lo stesso metodo funziona per le altezze di decenni diversi. Nel 2009-2010 i maschi cileni da 15 a 18 anni avevano N(170, 6.28), nel 1984-1985 N(172.36, 6.34). Un'altezza di 160.58 cm nel primo periodo e di 162.85 cm nel secondo hanno entrambe z = −1.5.
Trascina per ruotare. Scorri oppure avvicina e allontana due dita per regolare lo zoom.
Da z a un percentile
Per una distribuzione normale, il punteggio z determina l'area a sinistra, cioè il percentile. z = 0 è il 50° percentile. z = 1 lascia sotto circa l'84.13%. z = −1.5 lascia sotto circa il 6.68%: il punteggio SAT di 325 era quindi superiore solo a circa il 6.7% dei punteggi, supponendo una distribuzione normale. Nel SAT del 2012 ci furono 1664479 partecipanti: circa il 15.87%, ossia 264000 studenti, avrebbe superato 496 + 114 = 610. Un cileno alto 168 cm nel 2009-2010 ha z = (168 − 170) ÷ 6.28 ≈ −0.32, tra il 37° e il 38° percentile. Il laboratorio mostra queste aree mentre sposti x.
Punteggi z per dati non normali
Il punteggio z si può calcolare per qualsiasi valore di qualsiasi insieme di dati: indica sempre quante deviazioni standard lo separano dalla media. Cambia invece il legame con i percentili. Per le ore di gioco, il compagno che ha giocato 0 ore ha z ≈ −2.24, ma con soli 25 valori e una forma asimmetrica a sinistra, l'1.2% sotto quel punto dato dalla tabella normale significa poco; in realtà 1 dei 25 valori, il 4%, è uguale o inferiore. Usa liberamente z per confrontare posizioni in un gruppo, ma ricava i percentili dalla curva normale solo quando la forma è vicina a una campana.
| Punteggio z | (x − μ) ÷ σ: deviazioni standard dalla media |
| Tornare a x | x = μ + zσ |
| z = 0 | Il valore coincide con la media; 50° percentile |
| z = 1 | Circa l'84% è sotto |
| z = −1.5 | Circa il 6.7% è sotto |
| Normale standard | N(0, 1), la distribuzione dei punteggi z |
- X ~ N(12, 3) e x = 1. Quanto vale z, con due decimali?
- Jerome segna in media 16 punti con σ = 4. Quanto vale z per una partita da 10 punti?
- Perdita di peso X ~ N(5, 2) libbre. Quanto vale z per una perdita di 10 libbre?
- Stessa X ~ N(5, 2). Quanto vale z per un aumento di 3 libbre (x = −3)?
- N(170, 6.28): altezza con z = 1.27, due decimali?
- N(170, 6.28): altezza con z = −2?
- SAT 2012 N(496, 114): z di 366.21, due decimali?
- Percentuale di una popolazione normale sotto z = 1.5? (due decimali)
- x = 17 in N(5, 6) e y = 4 in N(2, 1). Quale è più insolito nel proprio gruppo?
- x = 17
- y = 4
- Ugualmente insoliti
- Non si può stabilire
- Un punteggio z di −0.32 indica che il valore è...
- 0.32 deviazioni standard sopra la media
- 0.32 deviazioni standard sotto la media
- 32% sotto
- 32 unità sotto
- z = (x − μ) ÷ σ conta le deviazioni standard dalla media; x = μ + zσ.
- Punteggi z uguali indicano valori ugualmente insoliti, anche su scale diverse.
- Per dati normali, z determina il percentile: z = 1 è circa l'84°, z = −1.5 circa il 7°.
Fonti di questo corso (7)
- OpenStax, Introductory Statistics 2e by Barbara Illowsky and Susan Dean (, per the page notice on 2026-10-17): 2.2 frequency tables, relative and cumulative frequency, frequency polygons (calculus final test scores 5, 10, 30, 40, 15; ages of US presidents at inauguration in six classes)
- the 100 soccer player heights, the 50 students' books, the 25 classmates' weekend video game hours and the 22 New York restaurant staff counts (openstax.org/books/introductory-statistics-2e/pages/2-2-histograms-frequency-polygons-and-time-series-graphs)
- 6.1 the standard normal distribution, z-scores, the empirical rule, X ~ N(5, 6)
- heights of Chilean males aged 15 to 18 N(170, 6.28) for 2009 to 2010 and N(172.36, 6.34) for 1984 to 1985, SAT verbal 2012 N(496, 114) with 1,664,479 test takers, Jerome N(16, 4) (openstax.org/books/introductory-statistics-2e/pages/6-1-the-standard-normal-distribution)
- De Moivre and the normal approximation to coin flips: D. Lane, Online Statistics Education, 7.2 History of the Normal Distribution (stats.libretexts.org, Introductory Statistics (Lane) 7.2)
- EBSCO Research Starters, "De Moivre Describes the Bell-Shaped Curve" (1733)
- Quetelet's chest measurements of 5,738 Scottish militiamen (Quetelet 1846, from an 1817 source; Stigler 1986 corrections): R package HistData, ChestSizes and ChestStigler (vincentarelbundock.github.io/Rdatasets/doc/HistData/ChestSizes.html).
Consultato il: 2026-10-17