Perspectief met drie verdwijnpunten
Kantel het glas 22° omhoog: de rechtopstaande randen van de toren komen samen in een derde punt 3.71 m boven het midden, terwijl de horizon 0.61 m onder het midden zakt.
Sleep om te draaien. Scroll of knijp om te zoomen.
Omhoog en omlaag kijken
Tot nu toe stond het beeldvlak steeds rechtop, alsof je recht vooruit keek. Ga nu onder aan een hoge toren staan en kijk omhoog. Om de hele toren te zien, kantel je je hoofd achterover. De denkbeeldige glasplaat voor je ogen kantelt mee. Zodra het glas niet meer rechtop staat, zijn de verticale torenranden er niet meer evenwijdig aan. Ze snijden het glas onder een hoek. Zoals elke groep evenwijdige randen die het glas snijdt, lopen ze samen. Bij een doos komen nu alle drie de groepen samen: breedte, diepte en hoogte. Dit is perspectief met drie verdwijnpunten.
Als je omhoogkijkt, komen de rechtopstaande randen samen in een derde verdwijnpunt hoog boven de toren. De toren lijkt naar de hemel toe smaller te worden. Kijk je vanuit een hoog raam omlaag, dan ontmoeten ze elkaar ver onder de grond en lijken gebouwen naar hun voet toe te krimpen. Geef Kantelen in het model een positieve hoek om omhoog en een negatieve om omlaag te kijken. V3 verplaatst zich van boven het midden naar eronder.
Waar de horizon heen gaat
Bij kantelend glas verandert nog iets: de horizon verlaat het midden van het beeld. Hij blijft de verdwijnlijn van elk horizontaal vlak en ligt nog op ooghoogte, maar het beeldmidden ligt niet meer op ooghoogte. Dat ligt waar je naar kijkt. Kantel je het glas over een hoek τ omhoog, dan zakt de horizon d × tan τ onder het midden. Bij d = 1.5 m en τ = 22° is dat 1.5 × tan 22° = 0.61 m lager. Het derde verdwijnpunt gaat juist naar d ÷ tan τ boven het midden, hier 1.5 ÷ tan 22° = 3.71 m. Vermenigvuldig beide afstanden en je krijgt altijd d²: hier 0.61 × 3.71 = 2.25 = 1.5². Hoe verder je kantelt, hoe dichter V3 bij het beeld komt en hoe verder de horizon van het midden zakt. Bij τ = 45° liggen beide precies d van het midden.
Je hebt dit waarschijnlijk in foto's gezien. Richt een telefooncamera omhoog naar een hoog gebouw en de zijkanten hellen op de foto naar binnen, hoewel de echte muren verticaal zijn. De camerasensor vervult de rol van het gekantelde beeldvlak, dus de foto volgt precies dezelfde meetkunde. Houd de camera horizontaal en de muren worden weer evenwijdig, maar dan valt de gebouwtop misschien buiten beeld. Een schilder heeft dezelfde keuze: het beeld rechtop houden en twee verdwijnpunten gebruiken, of het kantelen en het derde verdwijnpunt aanvaarden.
Driepuntsperspectief past bij wolkenkrabbers, torens, diepe trappenhuizen en luchtopnamen. Het is ook het minst vergevingsgezind: drie punten moeten tegelijk kloppen en het derde ligt vaak ver buiten het blad. Veel kunstenaars tekenen hoge gebouwen bewust met twee verdwijnpunten en een rechtopstaand beeld, omdat dat rustiger oogt, ook al lijkt het minder op wat het oog doet.
- Waardoor lopen verticale ribben bij driepuntsperspectief naar elkaar toe?
- Het beeldvlak is gekanteld, dus de verticalen zijn er niet meer evenwijdig aan
- Het gebouw is boven smaller
- De horizon staat hoger
- Je kijkt omhoog naar een toren. Waar is het derde verdwijnpunt?
- Hoog boven de toren
- Onder de grond
- Op de horizon
- d = 1.5 m en het glas is 22° omhoog gekanteld. Hoe ver onder het midden ligt de horizon, d tan τ? (twee decimalen)
- Dezelfde kanteling. Hoe ver boven het midden ligt V3 = d ÷ tan τ? (twee decimalen)
- d = 1.5 m en het glas is 45° gekanteld. Hoe ver ligt V3 van het midden?
- Het glas staat 1 m van het oog. Vermenigvuldig de afstand van de horizon onder het midden met de afstand van V3 erboven. Wat krijg je, in m²?
- Je kantelt het glas nog verder omhoog. Wat doet V3?
- Het komt dichter bij het beeld
- Het gaat verder weg
- Het blijft staan
- Waarom hellen de muren van een hoog gebouw naar binnen op een telefoonfoto die omhoog is genomen?
- De gekantelde sensor werkt als een gekanteld beeldvlak
- De lens is gebogen
- Het gebouw zwaait
- De doos staat recht voor je (draaihoek 0°) en het glas is gekanteld. Hoeveel verdwijnpunten zijn er?
- Twee
- Eén
- Drie
- Kantel het beeldvlak en ook de verticalen lopen naar elkaar toe.
- Omhoog kijken: V3 ligt boven. Omlaag kijken: V3 ligt onder.
- De horizon zakt tot d tan τ onder het midden; V3 ligt op d ÷ tan τ.
- Hun afstanden tot het midden vermenigvuldigen tot d².
- Een gekantelde camera geeft dezelfde hellende muren.
Bronnen van deze cursus (7)
- MacTutor (University of St Andrews)
- J J O'Connor and E F Robertson, Mathematics and art: perspective (mathshistory.st-andrews.ac.uk/HistTopics/Art/): Giotto's rules, Brunelleschi about 1413, the two panels, hole and mirror, Alberti De pictura 1435 and Della pittura 1436 dedicated to Brunelleschi, the visual pyramid definition, the tiled floor and the distance point, Ghiberti, Piero della Francesca, Leonardo's diminution numbers, Dürer 1525, Guidobaldo del Monte 1600, Desargues 1636 and 1639, Brook Taylor 1715 and 1719
- The Metropolitan Museum of Art, Heilbrunn Timeline of Art History, Florence and Central Italy 1400 to 1600 (metmuseum.org/toah/ht/08/eustc): Masaccio's Trinity applies Brunelleschi's perspective, Alberti On Painting 1435 to 1436, Alberti 1404 to 1472, the cathedral dome completed 1436
- Nelson-Atkins Museum of Art, Gaining Perspective (nelson-atkins.org/gates/gaining-perspective.html): Brunelleschi 1377 to 1446, Masaccio 1401 to 1428 and the Trinity about 1427, Ghiberti's Gates of Paradise 1425 to 1452
- Smarthistory and Khan Academy, Linear Perspective: Brunelleschi's Experiment (khanacademy.org, video transcript): vanishing point on the horizon line, orthogonals, the mirror test
- Alberti, On Painting, trans. Sinisgalli (Cambridge UP 2011)
- Book 1 §19: the rectangle as "an open window".
Geraadpleegd: 2026-10-17