三点透視図法
ガラスを22°上に傾けると、塔の直立する辺は中心の3.71 m上の第3の点で出会い、地平線は中心の0.61 m下に下がります。
ドラッグで回転、スクロールまたはピンチで拡大・縮小。
見上げる、見下ろす
ここまで、画面はずっと直立していて、真っすぐ前を見ているかのようでした。今度は、高い塔の足元に立って見上げてみましょう。塔全体を視野に入れるため、頭を後ろに傾け、目の前の想像上のガラス板もいっしょに傾きます。ガラスが直立でなくなると、塔の垂直の辺はそれと平行ではなくなります。ガラスを斜めに横切り、ガラスを横切るほかの平行な辺の族と同じように収束します。この見え方の箱は、幅、奥行き、高さの3つの族のすべてが収束します。これが三点透視図法です。
見上げると、直立する辺は塔のはるか上の第3の消失点で出会い、塔は空に向かって細くなるように見えます。高い窓から見下ろすと、地面のはるか下で出会い、建物は根元に向かって縮むように見えます。モデルでは、「傾き」スライダーを正の角度にすると見上げ、負の角度にすると見下ろす形になり、V3は中心の上から下へ入れ替わります。
地平線が行く先
ガラスが傾くと、もう1つのことが変わります。地平線が絵の中心から離れるのです。地平線は、すべての水平面の消失線のままで、目の高さにありますが、絵の中心はもう目と同じ高さにはなく、見ているところにあります。ガラスを角度τだけ上に傾けると、地平線は中心の下d × tan τに下がります。d = 1.5 m、τ = 22°なら、1.5 × tan 22° = 0.61 m下です。第3の消失点は反対側へ行き、中心の上d ÷ tan τ、つまり1.5 ÷ tan 22° = 3.71 mです。2つの距離を掛けると、必ずd²になります。ここでは0.61 × 3.71 = 2.25 = 1.5²です。傾けるほど、V3は絵に近づき、地平線は中心から遠ざかります。τ = 45°では、どちらも中心からちょうどdです。
写真で見たことがあるでしょう。スマートフォンのカメラを高い建物に向けて上に傾けると、本物の壁は垂直なのに、写真の中では建物の側面が内側に傾きます。カメラのセンサーが、傾いた画面の役を果たすので、写真はまったく同じ幾何学に従います。カメラを水平に構えると壁は再び平行になりますが、建物の上が切れてしまうことがあります。画家にも同じ選択があります。画面を直立に保って二点透視図法を使うか、傾けて第3の消失点を受け入れるかです。
三点透視図法は、高層ビル、塔、深い階段室、空撮に自然な選択です。同時に最も許容範囲が狭くもあります。3つの点を一度に一貫させる必要があり、3つ目はページのはるか外にあることが多いからです。多くの画家は、目が実際にすることとは違っても、落ち着いて見えるので、高い建物をわざと垂直な画面で、二点透視図法で描きます。
- 三点透視図法で、垂直の辺が収束する原因は何ですか。
- 画面が傾いているので、垂直線がもう画面と平行ではないから
- 建物が上で細くなっているから
- 地平線が高く描かれるから
- 塔を見上げます。第3の消失点はどこにありますか。
- 塔のはるか上
- 地面の下
- 地平線上
- d = 1.5 mで、ガラスが22°上に傾いています。地平線は中心の下何mですか（d tan τ）。（小数第2位まで）
- 同じ傾きです。V3 = d ÷ tan τは、中心の上何mですか。（小数第2位まで）
- d = 1.5 mで、ガラスを45°傾けます。V3は中心からどれだけ離れていますか。
- ガラスは目から1 mです。地平線の中心から下への距離と、V3の中心から上への距離を掛けると、m²でいくつになりますか。
- ガラスをさらに上に傾けると、V3はどうなりますか。
- 絵に近づく
- さらに遠ざかる
- そのまま
- 上向きに撮ったスマートフォンの写真で、高い建物の壁が内側に傾くのはなぜですか。
- 傾いたセンサーが、傾いた画面のように働くから
- レンズが湾曲しているから
- 建物が揺れているから
- 箱があなたに正対していて（回転0°）、ガラスが傾いています。消失点はいくつありますか。
- 2つ
- 1つ
- 3つ
- 画面を傾けると、垂直線も収束します。
- 見上げるとV3は上に、見下ろすと下にあります。
- 地平線は中心の下d tan τに下がり、V3はd ÷ tan τの位置にあります。
- 中心からの2つの距離を掛けるとd²になります。
- 傾いたカメラでも、同じように壁が傾いて見えます。
このコースの出典 (7)
- MacTutor (University of St Andrews)
- J J O'Connor and E F Robertson, Mathematics and art: perspective (mathshistory.st-andrews.ac.uk/HistTopics/Art/): Giotto's rules, Brunelleschi about 1413, the two panels, hole and mirror, Alberti De pictura 1435 and Della pittura 1436 dedicated to Brunelleschi, the visual pyramid definition, the tiled floor and the distance point, Ghiberti, Piero della Francesca, Leonardo's diminution numbers, Dürer 1525, Guidobaldo del Monte 1600, Desargues 1636 and 1639, Brook Taylor 1715 and 1719
- The Metropolitan Museum of Art, Heilbrunn Timeline of Art History, Florence and Central Italy 1400 to 1600 (metmuseum.org/toah/ht/08/eustc): Masaccio's Trinity applies Brunelleschi's perspective, Alberti On Painting 1435 to 1436, Alberti 1404 to 1472, the cathedral dome completed 1436
- Nelson-Atkins Museum of Art, Gaining Perspective (nelson-atkins.org/gates/gaining-perspective.html): Brunelleschi 1377 to 1446, Masaccio 1401 to 1428 and the Trinity about 1427, Ghiberti's Gates of Paradise 1425 to 1452
- Smarthistory and Khan Academy, Linear Perspective: Brunelleschi's Experiment (khanacademy.org, video transcript): vanishing point on the horizon line, orthogonals, the mirror test
- Alberti, On Painting, trans. Sinisgalli (Cambridge UP 2011)
- Book 1 §19: the rectangle as "an open window".
確認日: 2026-10-17