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二点透視図法

箱を30°回すと、絵に第2の消失点が加わります。ガラスが目から1.5 mだと、それらは中心の右2.60 mと左0.87 mに位置します。

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二点透視図法。部屋全体が「回転」の角度だけ回されています。V1（オレンジ）は幅の辺を、V2（青）は奥行きの辺を集め、どちらも赤い地平線上にあります。V1はたいていガラスの外にあるので、破線がそこへ伸びる下の平らな図を見ましょう。

箱を回す

街角に立って、角の建物を見てみましょう。2つの壁が同時に見え、1つは左へ、1つは右へ去っていき、建物の最も近い垂直の辺があなたにいちばん近くにあります。どちらの壁も、あなたに正対していません。前の単元の言い方では、幅の辺と奥行きの辺の両方が画面を斜めに横切り、そのため両方の族が、それぞれ自分の消失点に収束します。直立の辺は、直立した画面とやはり平行なので、垂直のままです。収束する族が2つなので、消失点は2つになります。これが二点透視図法です。

どちらの族も水平なので、2つの消失点はどちらも地平線上にあります。モデルで目を上げると、2つの点はいっしょに上がります。「回転」の角度を変えると、地平線に沿って反対方向に滑ります。一方が中心に近づくと、他方は中心から遠ざかります。

HLV1V2
二点透視図法で箱を描く様子です。最も近い垂直の辺を最初に描き、その上端と下端を、地平線上のV1とV2につなぎます。奥の垂直線はそれらの線の上に置き、その角を反対側の消失点へつなぎ戻して、上面を閉じます。

2つの点はどこへ行くか

テイラーの規則が、その位置を正確に教えます。箱が角度θだけ回され、ガラスが目からdの距離にあるとします。幅の辺と平行に目を通る線もθだけ回り、ガラスと、中心の右d ÷ tan θのところで出会います。これはd cot θと書きます。奥行きの辺と平行な線は、左d × tan θのところでガラスと出会います。d = 1.5 m、θ = 30°なら、V1は右に1.5 × cot 30° = 2.60 m、V2は左に1.5 × tan 30° = 0.87 mです。モデルの表示も同じ数字を出します。角度を0°にすると、V2は中心に滑り戻り、V1は無限遠へ去ります。一点透視図法に戻ったのです。

きれいな結論があります。目からV1とV2への2本の線は、箱の2つの辺と平行で、箱の角は直角なので、目の位置での2本の線の間の角は常に90°です。2つの消失点を好きなところに置くことはできません。見る距離dが決まれば、2点の間隔はd cot θ + d tan θで、これは2d ÷ sin 2θになります。最小の間隔は、箱を45°回したときの2dで、ほかの角度は2点をもっと遠ざけます。小さい紙に2点を近く描くと、紙にとても近く構えた目のための絵を描いていることになります。ふつうの距離から見ると、そのような絵の縁の近くの箱は引き伸ばされて見え、手前の角は90°より鋭く見えます。

実際には、消失点が紙の外に落ちることがよくあります。画家は、点を内側に動かして絵を歪めるのではなく、両側に紙を足して貼ったり、机に長い定規を留めたりします。モデルの平らな図も同じことを示しています。小さな回転の角度では、V1は用紙から完全に外れます。

  1. 地平線を引き、その上に、V1とV2を遠く離して打ちます。
  2. 箱の最も近い垂直の辺を描きます。
  3. その上端と下端を、両方の消失点につなぎます。
  4. それらの線の間に、2本の側面の垂直線を置きます。
  5. 側面の垂直線の上端を、反対側の消失点につなぎます。これらの線が交わるところが、上面の奥の角です。
  1. 回した箱に消失点が2つ必要なのはなぜですか。
    • 幅の辺と奥行きの辺の両方が、画面を斜めに横切るから
    • 2方向から照らされているから
    • 2倍遠くにあるから
  2. 直立した画面の二点透視図法で、垂直の辺はどうなりますか。
    • 垂直で平行のまま
    • 箱の上で出会う
    • V1の方に傾く
  3. 2つの消失点は、どちらもどこにありますか。
    • 地平線上
    • 絵の上と下
    • 画家の好きなところ
  4. d = 1.5 mで、箱を30°回します。V1 = d cot θは、中心の右何mですか。（小数第2位まで）
  5. 同じ箱です。V2 = d tan θは、中心の左何mですか。（小数第2位まで）
  6. d = 1.5 mで、箱を45°回します。V1とV2の間の距離はいくつですか。
  7. 目からV1とV2への線がつくる角は、何度ですか。
  8. 回転の角度を0°にします。何が起こりますか。
    • V2は中心に戻り、V1は無限遠へ去って、一点透視図法になる
    • 2つの点が中心で出会う
    • 地平線が消える
  9. 2つの消失点を近づけた絵が歪んで見えるのはなぜですか。
    • 紙にとても近い目に対してだけ正しいから
    • 紙が薄すぎるから
    • 地平線が低すぎるから
ポイント
  • 回した箱は収束する族が2つあるので、消失点も2つです。
  • どちらも地平線上にあり、垂直線は垂直のままです。
  • V1は片側にd cot θ、V2は反対側にd tan θの位置にあります。
  • 目からV1とV2への線は、90°で交わります。
  • 2点の間隔は少なくとも2dです。
このコースの出典 (7)
  • MacTutor (University of St Andrews)
  • J J O'Connor and E F Robertson, Mathematics and art: perspective (mathshistory.st-andrews.ac.uk/HistTopics/Art/): Giotto's rules, Brunelleschi about 1413, the two panels, hole and mirror, Alberti De pictura 1435 and Della pittura 1436 dedicated to Brunelleschi, the visual pyramid definition, the tiled floor and the distance point, Ghiberti, Piero della Francesca, Leonardo's diminution numbers, Dürer 1525, Guidobaldo del Monte 1600, Desargues 1636 and 1639, Brook Taylor 1715 and 1719
  • The Metropolitan Museum of Art, Heilbrunn Timeline of Art History, Florence and Central Italy 1400 to 1600 (metmuseum.org/toah/ht/08/eustc): Masaccio's Trinity applies Brunelleschi's perspective, Alberti On Painting 1435 to 1436, Alberti 1404 to 1472, the cathedral dome completed 1436
  • Nelson-Atkins Museum of Art, Gaining Perspective (nelson-atkins.org/gates/gaining-perspective.html): Brunelleschi 1377 to 1446, Masaccio 1401 to 1428 and the Trinity about 1427, Ghiberti's Gates of Paradise 1425 to 1452
  • Smarthistory and Khan Academy, Linear Perspective: Brunelleschi's Experiment (khanacademy.org, video transcript): vanishing point on the horizon line, orthogonals, the mirror test
  • Alberti, On Painting, trans. Sinisgalli (Cambridge UP 2011)
  • Book 1 §19: the rectangle as "an open window".

確認日: 2026-10-17