퍼센트 증가와 감소

20% 오른 가격이 다시 20% 내리면 처음보다 4% 낮아집니다.

분식집 떡볶이 값이 20% 오르고 20% 내린 이야기

지어낸 이야기입니다. 동네 분식집 사장님이 떡볶이 한 접시 값을 5,000원에서 6,000원으로 올렸습니다. 20% 인상입니다. 한 달 뒤 손님이 줄자 「전 메뉴 20% 할인」 안내문을 붙였습니다. 이제 손님이 내는 돈은 4,800원입니다. 처음 값 5,000원으로 돌아오지 않았습니다. 올릴 때의 20%는 5,000원의 20%라서 1,000원이었고, 내릴 때의 20%는 6,000원의 20%라서 1,200원이었습니다. 퍼센트는 같아도 기준이 된 값이 달랐습니다. 4,800 ÷ 5,000 = 0.96이니 처음보다 4% 낮습니다. 사장님은 올린 만큼 내렸다고 생각했겠지만, 손님은 처음보다 200원을 덜 냅니다. 이 단원의 계산은 모두 이 이야기에서 나온 물음인 「무엇을 기준으로 몇 %인가」를 다룹니다.

버스 요금 25센트 인상은 몇 %일까

버스 요금이 2.50달러에서 2.75달러로 올랐다고 해 봅시다. 요금은 25센트 올랐습니다. 하지만 이것이 큰 변화인지는 무엇과 비교하느냐에 달려 있습니다. 그 물음에 답을 주는 것이 퍼센트 증가입니다. OpenStax는 이것을 두 단계로 나눠 설명합니다. 먼저 늘어난 양을 구합니다. 늘어난 양은 새 값에서 처음 값을 뺀 것(새 값 − 처음 값)입니다. 그다음 그 늘어난 양이 처음 값의 몇 퍼센트인지 구합니다. 이 예에서는 2.75 − 2.50 = 0.25이고 0.25 ÷ 2.50 = 0.1이므로 요금이 10% 올랐습니다.

퍼센트 감소도 같은 방식으로 만듭니다. 줄어든 양(처음 값 − 새 값)을 구해서 그것을 처음 값으로 나눕니다. 예를 들어 커피 한 통 값이 80달러에서 68달러로 내리면 80 − 68 = 12, 12 ÷ 80 = 0.15이므로 15% 감소했습니다. 증가와 감소 두 경우 모두 「처음 값」이라는 말이 중요합니다. 언제나 출발한 값으로 나누고, 끝난 값으로는 절대 나누지 않습니다.

20% 올렸다 20% 내리면 96이 되는 까닭

100에서 시작해 봅시다. 20% 오르면 120입니다. 그런데 120에서 20% 내리면 20이 아니라 24가 줄어듭니다. 120의 20%가 24이기 때문입니다. 그래서 결과는 96이 되고, 이것은 처음 출발한 값보다 4% 낮습니다. 이것을 곱하는 수로 쓰면 1.2 × 0.8 = 0.96이고, 순서를 바꿔도 같은 일이 일어나서 0.8 × 1.2도 0.96입니다. 같은 퍼센트만큼 오르고 내려도 결코 제자리로 돌아오지 않고, 퍼센트가 클수록 손해가 커집니다. 예를 들어 50% 오르고 50% 내리면 1.5 × 0.5 = 0.75입니다.

10% 증가는 × 1.1입니다

r% 증가는 원래 값에 1 + r/100을 곱하는 것과 같고, r% 감소는 1 − r/100을 곱하는 것과 같습니다. 예를 들어 10% 오르면 × 1.1이고, 35% 내리면 × 0.65입니다. 변화를 되돌리려면 그 변화에 곱했던 수로 나눕니다. 예를 들어 25% 올라서 150이 된 가격은 원래 150 ÷ 1.25 = 120이었습니다. 150에서 25%를 빼면 112.50이 나오는데, 위의 20% 예와 같은 이유로 틀린 답입니다.

여러 번 이어지는 변화도 곱해서 계산합니다. 해마다 10%씩 3년 동안 늘어나는 것은 1.1 × 1.1 × 1.1 = 1.331배, 모두 합쳐 33.1% 늘어난 것이고, 30%가 아닙니다. 해마다 붙는 10%가 그 전해보다 더 커진 수의 10%이기 때문입니다.

150% 증가는 있어도 150% 감소는 없습니다

증가는 크기에 제한이 없어서 얼마든지 커질 수 있습니다. 예를 들어 두 배가 되는 것은 100% 증가입니다. 40이 80이 되면 40이 늘었고, 이는 40의 100%입니다. 40이 100이 되면 60이 늘었고, 이는 40의 150%입니다. 하지만 감소는 100%를 넘을 수 없습니다. 100%가 줄면 아무것도 남지 않기 때문입니다. 「가격이 150% 떨어졌다」는 문장은 잘못 썼습니다. 글쓴이는 아마 다른 무언가가 150% 올랐다고 말하려 했을 겁니다.

25에서 20은 20% 감소, 20에서 25는 25% 증가

셔츠 값이 25달러에서 20달러로 내렸다고 해 봅시다. 값이 5달러 내렸고, 5 ÷ 25 = 20%이므로 20% 감소입니다. 할인이 끝나 다시 20달러에서 25달러로 오르면 똑같이 5달러가 올랐지만 이번에는 처음 값이 20이라서 5 ÷ 20 = 25%입니다. 두 말 모두 맞습니다. 퍼센트 변화의 크기는 언제나 어느 수에서 출발하느냐에 달려 있으므로, 퍼센트 변화를 말할 때는 무엇을 기준으로 쟀는지 함께 밝혀야 합니다.