Prozentuale Zunahme und Abnahme

Ein Preis, der erst um 20% steigt und dann um 20% fällt, liegt am Ende 4% unter dem Ausgangspreis.

20% Preiserhöhung und 20% Rabatt am Imbiss

Eine erfundene Geschichte: Die Besitzerin eines kleinen Imbisses erhöht den Preis für einen Teller Tteokbokki von 5000 Won auf 6000 Won, also um 20%. Einen Monat später läuft das Geschäft schlecht. Sie schreibt „Alles 20% günstiger“ auf ein Schild. Nun bezahlen die Gäste 4800 Won, nicht wieder 5000. Die Erhöhung betrug 20% von 5000, also 1000 Won. Die Senkung betrug 20% von 6000, also 1200 Won. Gleicher Prozentsatz, anderer Grundwert: 4800 ÷ 5000 = 0.96 bedeutet einen Preis 4% unter dem Ausgangswert.

25 Cent mehr bei einem Fahrpreis von 2.50

Ein Busfahrpreis steigt von 2.50 auf 2.75 Dollar. Das sind 25 Cent mehr. Ob das viel ist, hängt vom Vergleichswert ab. Die prozentuale Zunahme beantwortet diese Frage. OpenStax nennt zwei Schritte: Zuerst die Zunahme als neuer minus ursprünglicher Betrag berechnen. Dann bestimmen, wie viel Prozent diese Zunahme vom ursprünglichen Betrag ausmacht. Hier gilt 2.75 − 2.50 = 0.25 und 0.25 ÷ 2.50 = 0.1. Der Fahrpreis stieg also um 10%.

Eine prozentuale Abnahme wird genauso berechnet: ursprünglicher minus neuer Betrag, geteilt durch den ursprünglichen. Ein Glas Kaffee wird von 80 auf 68 Dollar reduziert: 80 − 68 = 12 und 12 ÷ 80 = 0.15, also 15% Abnahme. In beiden Fällen ist „ursprünglich“ entscheidend. Teile durch den Ausgangswert, nie durch den Endwert.

Warum 20% mehr und danach 20% weniger bei 96 landen

Beginne mit 100. Eine Zunahme um 20% ergibt 120. Eine Abnahme um 20% von 120 zieht 24 ab, nicht 20, denn 20% von 120 sind 24. Du landest bei 96, also 4% unter dem Ausgangswert. Mit Faktoren: 1.2 × 0.8 = 0.96. Andersherum passiert dasselbe: 0.8 × 1.2 = 0.96. Gleich große prozentuale Zu- und Abnahmen heben sich nie auf. Je größer der Prozentsatz, desto größer der Verlust: 50% auf und ab ergeben 1.5 × 0.5 = 0.75.

10% Zunahme bedeutet × 1.1

Bei einer Zunahme um r Prozent wird mit 1 + r/100 multipliziert, bei einer Abnahme mit 1 − r/100. 10% Zunahme bedeutet × 1.1, 35% Abnahme × 0.65. Teile durch den Faktor, um die Änderung rückgängig zu machen. Ist ein Preis nach 25% Erhöhung bei 150, lag er vorher bei 150 ÷ 1.25 = 120. 25% von 150 abzuziehen ergäbe 112.50. Das wäre aus demselben Grund falsch wie im Beispiel mit 20% oben.

Auch wiederholte Änderungen werden multipliziert. Ein Wert, der drei Jahre lang jährlich um 10% wächst, wird mit 1.1 × 1.1 × 1.1 = 1.331 multipliziert. Die gesamte Zunahme beträgt 33.1%, nicht 30%. Jedes Jahr beziehen sich die 10% auf eine größere Zahl.

Preise können um 150% steigen, aber nicht um 150% fallen

Eine Zunahme kann beliebig groß sein. Verdoppeln ist eine Zunahme um 100%: Von 40 auf 80 kommen 40 hinzu, also 100% von 40. Von 40 auf 100 kommen 60 hinzu, also 150% von 40. Eine Abnahme kann 100% nicht überschreiten, denn nach einem Verlust von 100% bleibt nichts übrig. „Die Preise fielen um 150%“ ist falsch; vermutlich war gemeint, dass etwas anderes um 150% stieg.

Von 25 auf 20 sind 20%; von 20 auf 25 sind 25%

Ein Hemd wird von 25 auf 20 Dollar reduziert. Die Senkung beträgt 5 Dollar und 5 ÷ 25 = 20%, also eine Abnahme um 20%. Nach dem Angebot steigt der Preis wieder von 20 auf 25. Die Zunahme beträgt dieselben 5 Dollar, doch der Ausgangswert ist jetzt 20 und 5 ÷ 20 = 25%. Beide Angaben stimmen. Eine prozentuale Änderung hängt immer vom Ausgangswert ab. Deshalb sollte eine solche Angabe den Vergleichswert nennen.