Brüche, Dezimalzahlen und Prozent

3/8, 0.375 und 37.5% beschreiben dieselbe Menge auf drei Arten.

Drei von acht Teilen färben und die Anzeige ablesen

Benutze vor den Regeln den Streifen unten. Er beginnt mit 8 gleichen Teilen.

Färbe 3 von 8 Teilen. Unter dem Streifen stehen 0.375 und 37.5%. Stelle auf 5 Teile um und färbe 2: 0.4 und 40%. Stelle auf 3 Teile um und färbe 1: Der Streifen rundet die periodische Dezimalzahl auf 0.333 und den Prozentsatz auf 33.3%.

Eine gefärbte Fläche, drei Zahlen. Sie beschreiben dieselbe Menge: 3/8 des Streifens, 0.375 davon, 37.5% davon. Der Rest der Seite zeigt, wie du ohne Streifen von einer Darstellung zu den anderen beiden kommst.

45 Kästchen von 100

OpenStax definiert Prozent als ein Verhältnis mit dem Nenner 100. Das Zeichen % erinnert an die versteckten 100 im Nenner. 45% sind also 45 von jeweils 100 oder 45/100. Färbe 45 Kästchen in einem Feld aus 10 mal 10 Kästchen: Du hast 45%, 45/100 und 0.45 in einem Bild dargestellt.

Warum 8% gleich 0.08 und nicht 0.8 ist

Prozent sind Hundertstel. Deshalb verschiebt sich beim Wechsel zwischen Prozent und Dezimalzahl der Punkt um zwei Stellen. Von Prozent zur Dezimalzahl: Zeichen weglassen, Punkt zwei Stellen nach links: 45% = 0.45, 8% = 0.08, 7.5% = 0.075. Zurück zu Prozent: Punkt zwei Stellen nach rechts, Zeichen ergänzen: 0.6 = 60%, 0.125 = 12.5%, 1.25 = 125%. Prozentsätze über 100 bedeuten mehr als das Ganze; Werte unter 1 sind winzig: 0.4% ist 0.004.

Ein Punkt, der nur eine Stelle oder in die falsche Richtung wandert, lässt sich leicht entdecken. Ein Prozentsatz unter 100 muss eine Dezimalzahl unter 1 ergeben. Also kann 8% nicht 0.8 sein. Das wäre 80%.

3/8 bedeutet 3 geteilt durch 8

Ein Bruch ist eine Division. Teile deshalb den Zähler durch den Nenner, um ihn als Dezimalzahl zu schreiben. 3/8 = 3 ÷ 8 = 0.375, also 37.5%. Wenn der Nenner schon ein Teiler von 10, 100 oder 1000 ist, kannst du die Division umgehen: 7/20 = 35/100 = 0.35, denn 20 × 5 = 100.

Manche Divisionen enden nie. 1/3 = 0.333..., wobei sich die 3 endlos wiederholt, und 2/3 = 0.666.... Über die sich wiederholenden Ziffern schreibt man oft einen Strich oder man rundet: 1/3 sind etwa 33.3%. Vollständig gekürzte Brüche, deren Nenner nur die Primfaktoren 2 und 5 enthalten, etwa 1/4, 3/8 und 7/20, ergeben immer endliche Dezimalzahlen. Andere, etwa 1/3, 1/6 und 1/7, sind periodisch.

Von 12.5% zurück zu 1/8

Schreibe den Prozentsatz als Bruch mit Nenner 100 und kürze. 45% = 45/100 = 9/20. 150% = 150/100 = 3/2. Bei Nachkommastellen beseitigst du zuerst den Dezimalpunkt: 12.5% = 12.5/100 = 125/1000 = 1/8.

Vier kurze Alltagsaufgaben

Beispiel 1. Ein Test hat 50 Fragen, du beantwortest 42 richtig. 42/50 = 84/100, also beträgt das Ergebnis 84%. Durch Verdoppeln beider Zahlen entstand der Nenner 100, ganz ohne Division. Beispiel 2. Eine Tankanzeige zeigt 7/8. 7 ÷ 8 = 0.875, also ist der Tank zu 87.5% voll. Beispiel 3. Ein Sparkonto zahlt 0.6% jährlich. Als Dezimalzahl sind das 0.006, sodass 500 Dollar in einem Jahr 0.006 × 500 = 3 Dollar Zinsen bringen. Beispiel 4. Sind 2/7 mehr oder weniger als 30%? 2 ÷ 7 = 0.2857..., also etwa 28.6% und damit etwas weniger. Diese Zahlen sind für die Übungen erfunden.