Augmentation et diminution en pourcentage

Un prix qui monte de 20 % puis baisse de 20 % finit 4 % plus bas qu'au départ.

La hausse de 20 % et les soldes de 20 % d'un snack

Une histoire inventée. La patronne d'un petit snack fait passer le prix d'une assiette de tteokbokki de 5000 à 6000 wons, une hausse de 20 %. Un mois plus tard, les affaires sont calmes, alors elle affiche : tout à 20 % de remise. Les clients paient maintenant 4800 wons. Elle n'est pas revenue à 5000. La hausse valait 20 % de 5000, soit 1000 wons. La baisse valait 20 % de 6000, soit 1200 wons. Même pourcentage, point de départ différent, et 4800 ÷ 5000 = 0.96 laisse le prix 4 % sous son niveau de départ.

Une hausse de 25 cents sur un ticket à 2.50

Un ticket de bus passe de 2.50 à 2.75 dollars. Il a augmenté de 25 cents, mais savoir si c'est beaucoup dépend de ce à quoi on le compare. Une augmentation en pourcentage répond à cela. OpenStax donne deux étapes : trouver le montant de l'augmentation, nouveau montant moins montant initial, puis trouver quel pourcentage du montant initial représente cette augmentation. Ici 2.75 − 2.50 = 0.25, et 0.25 ÷ 2.50 = 0.1, donc le ticket a augmenté de 10 %.

Une diminution en pourcentage se construit de la même façon : le montant de la baisse est l'initial moins le nouveau, divisé par l'initial. Un pot de café passe de 80 à 68 dollars : 80 − 68 = 12, et 12 ÷ 80 = 0.15, une baisse de 15 %. Le mot initial compte dans les deux cas. Divise par la valeur de départ, jamais par la valeur d'arrivée.

Pourquoi +20 % puis −20 % mène à 96

Pars de 100. Une hausse de 20 % donne 120. Une baisse de 20 % à partir de 120 retire 24, et non 20, car 20 % de 120 font 24. Tu arrives à 96, soit 4 % sous le départ. Avec les coefficients : 1.2 × 0.8 = 0.96. C'est pareil dans l'autre ordre, 0.8 × 1.2 = 0.96. Des pourcentages égaux en hausse et en baisse ne s'annulent jamais, et la perte grandit avec le pourcentage : +50 % puis −50 % donne 1.5 × 0.5 = 0.75.

Une hausse de 10 %, c'est × 1.1

Une augmentation de r pour cent multiplie par 1 + r/100 ; une diminution multiplie par 1 − r/100. Une hausse de 10 %, c'est × 1.1 ; une baisse de 35 %, c'est × 0.65. Pour annuler une variation, divise par son coefficient. Si un prix vaut 150 après une hausse de 25 %, il valait 150 ÷ 1.25 = 120 avant. Retirer 25 % de 150 donnerait 112.50, ce qui est faux pour la même raison que dans l'exemple des 20 % plus haut.

Les variations successives se multiplient aussi. Une quantité qui augmente de 10 % par an pendant trois ans est multipliée par 1.1 × 1.1 × 1.1 = 1.331, une hausse totale de 33.1 %, et non 30 %. Chaque année, les 10 % sont pris sur un nombre plus grand.

Un prix peut monter de 150 % mais pas baisser de 150 %

Une augmentation peut avoir n'importe quelle taille. Doubler, c'est augmenter de 100 % : passer de 40 à 80 ajoute 40, soit 100 % de 40. Passer de 40 à 100 ajoute 60, soit 150 % de 40. Une diminution ne peut pas dépasser 100 %, car perdre 100 % ne laisse rien. Une phrase comme « les prix ont baissé de 150 % » est une erreur ; l'auteur voulait sans doute dire que quelque chose d'autre avait augmenté de 150 %.

De 25 à 20, c'est 20 % ; de 20 à 25, c'est 25 %

Une chemise passe de 25 à 20 dollars. La baisse est de 5 dollars, et 5 ÷ 25 = 20 %, donc c'est une diminution de 20 %. À la fin des soldes, quand le prix remonte de 20 à 25, la hausse est des mêmes 5 dollars, mais la valeur initiale est maintenant 20, et 5 ÷ 20 = 25 %. Les deux affirmations sont justes. La taille d'une variation en pourcentage dépend toujours du nombre de départ ; une annonce de variation en pourcentage devrait donc dire par rapport à quoi elle est mesurée.