Aumento e diminuzione percentuale

Un prezzo che sale del 20% e poi scende del 20% finisce il 4% sotto il valore iniziale.

L'aumento del 20% e lo sconto del 20% in una tavola calda

Una storia inventata. La proprietaria di una piccola tavola calda aumenta il prezzo di un piatto di tteokbokki da 5000 won a 6000 won, un aumento del 20%. Un mese dopo gli affari rallentano e appende un cartello: tutto scontato del 20%. Ora i clienti pagano 4800 won. Non è tornata a 5000. L'aumento era il 20% di 5000, cioè 1000 won. Il taglio era il 20% di 6000, cioè 1200 won. Stessa percentuale, base diversa: 4800 ÷ 5000 = 0.96 lascia il prezzo il 4% sotto quello iniziale.

Un aumento di 25 centesimi su una tariffa di 2.50

Il biglietto dell'autobus passa da 2.50 a 2.75 dollari. È aumentato di 25 centesimi, ma per capire se sia tanto occorre un confronto. L'aumento percentuale risponde proprio a questo. OpenStax indica due passaggi: trova l'aumento, sottraendo il valore originale dal nuovo, poi calcola quale percentuale del valore originale rappresenta. Qui 2.75 − 2.50 = 0.25, e 0.25 ÷ 2.50 = 0.1: il biglietto è aumentato del 10%.

La diminuzione percentuale si costruisce allo stesso modo: la diminuzione è il valore originale meno quello nuovo, diviso per l'originale. Un barattolo di caffè scende da 80 a 68 dollari: 80 − 68 = 12, e 12 ÷ 80 = 0.15, una diminuzione del 15%. La parola originale conta in entrambi i casi. Dividi per il valore di partenza, mai per quello di arrivo.

Perché aumentare e diminuire del 20% porta a 96

Parti da 100. Un aumento del 20% dà 120. Una diminuzione del 20% da 120 toglie 24, non 20, perché il 20% di 120 è 24. Arrivi a 96, il 4% sotto il valore iniziale. Con i moltiplicatori: 1.2 × 0.8 = 0.96. Succede lo stesso nell'ordine inverso: 0.8 × 1.2 = 0.96. Aumenti e diminuzioni della stessa percentuale non si annullano mai, e la perdita cresce con la percentuale: aumentare e diminuire del 50% dà 1.5 × 0.5 = 0.75.

Un aumento del 10% è × 1.1

Un aumento del r percento moltiplica per 1 + r/100; una diminuzione moltiplica per 1 − r/100. Un aumento del 10% è × 1.1, un calo del 35% è × 0.65. Per annullare una variazione, dividi per il suo moltiplicatore. Se un prezzo è 150 dopo un aumento del 25%, prima era 150 ÷ 1.25 = 120. Togliere il 25% da 150 darebbe 112.50, un errore per lo stesso motivo dell'esempio del 20% visto sopra.

Anche le variazioni ripetute si moltiplicano. Una quantità che cresce del 10% annuo per tre anni viene moltiplicata per 1.1 × 1.1 × 1.1 = 1.331: un aumento totale del 33.1%, non del 30%. Ogni anno il 10% si calcola su un numero maggiore.

I prezzi possono salire del 150%, ma non scendere del 150%

Un aumento può avere qualsiasi entità. Raddoppiare è un aumento del 100%: da 40 a 80 si aggiunge 40, cioè il 100% di 40. Passare da 40 a 100 aggiunge 60, cioè il 150% di 40. Una diminuzione non può superare il 100%, perché perdere il 100% non lascia nulla. Una frase come «i prezzi sono scesi del 150%» è sbagliata; probabilmente chi scrive intendeva dire che qualcos'altro era salito del 150%.

Da 25 a 20 è il 20%; da 20 a 25 è il 25%

Una camicia viene scontata da 25 a 20 dollari. Il taglio è di 5 dollari, e 5 ÷ 25 = 20%: una diminuzione del 20%. Quando i saldi finiscono e il prezzo torna da 20 a 25, l'aumento è sempre di 5 dollari, ma ora il valore originale è 20 e 5 ÷ 20 = 25%. Entrambe le affermazioni sono corrette. Una variazione percentuale dipende sempre dal valore di partenza: quando la si riporta, bisogna indicare rispetto a che cosa è misurata.