Увеличение и уменьшение в процентах

Если цена выросла на 20%, а затем снизилась на 20%, она окажется на 4% ниже исходной.

Повышение на 20% и скидка 20% в закусочной

Условная история. Владелица небольшой закусочной повышает цену порции ттокпокки с 5000 до 6000 вон, то есть на 20%. Через месяц покупателей мало, и она вывешивает объявление: скидка 20% на всё. Теперь покупатели платят 4800 вон. Цена не вернулась к 5000. Повышение составляло 20% от 5000, то есть 1000 вон. Снижение составило 20% от 6000, то есть 1200 вон. Процент тот же, но исходная величина другая: 4800 ÷ 5000 = 0.96, так что цена оказалась на 4% ниже начальной.

Повышение тарифа 2.50 на 25 центов

Стоимость проезда на автобусе выросла с 2.50 до 2.75 доллара. Это повышение на 25 центов, но много это или мало, зависит от того, с чем сравнивать. Процентное увеличение даёт ответ. OpenStax предлагает два шага: найти величину прироста, вычтя исходное значение из нового, затем вычислить, какой процент от исходного значения составляет прирост. Здесь 2.75 − 2.50 = 0.25 и 0.25 ÷ 2.50 = 0.1, то есть тариф вырос на 10%.

Процентное уменьшение находится так же: из исходного значения вычти новое и раздели разность на исходное. Банка кофе подешевела с 80 до 68 долларов: 80 − 68 = 12 и 12 ÷ 80 = 0.15, то есть снижение на 15%. В обоих случаях важно слово «исходное». Дели на то, с чего начал, а не на то, чем закончил.

Почему повышение на 20% и снижение на 20% дают 96

Начни со 100. Увеличение на 20% даёт 120. Уменьшение 120 на 20% убирает 24, а не 20, потому что 20% от 120 равно 24. Получается 96, на 4% меньше исходного. Через множители: 1.2 × 0.8 = 0.96. В обратном порядке результат такой же: 0.8 × 1.2 = 0.96. Одинаковые проценты повышения и снижения не компенсируют друг друга. Чем больше процент, тем больше потеря: повышение и снижение на 50% дают 1.5 × 0.5 = 0.75.

Повышение на 10% означает × 1.1

Увеличение на r процентов означает умножение на 1 + r/100, уменьшение на 1 − r/100. Повышение на 10% соответствует × 1.1, снижение на 35% соответствует × 0.65. Для обратного расчёта раздели на множитель. Если после повышения на 25% цена равна 150, до повышения она была 150 ÷ 1.25 = 120. Снижение 150 на 25% дало бы 112.50, что неверно по той же причине, что и в примере с 20% выше.

Последовательные изменения тоже перемножаются. При ежегодном росте 10% за три года величина умножается на 1.1 × 1.1 × 1.1 = 1.331. Общий рост составляет 33.1%, а не 30%. Каждый год 10% берутся от большей величины.

Цена может вырасти на 150%, но не может упасть на 150%

Рост может быть сколь угодно большим. Удвоение означает увеличение на 100%: при переходе от 40 к 80 добавляется 40, то есть 100% от 40. При переходе от 40 к 100 добавляется 60, то есть 150% от 40. Уменьшение не может превысить 100%, поскольку потеря 100% не оставляет ничего. Фраза «цены упали на 150%» ошибочна: вероятно, автор имел в виду, что другая величина выросла на 150%.

От 25 до 20: снижение на 20%; от 20 до 25: рост на 25%

Рубашка подешевела с 25 до 20 долларов. Снижение равно 5 долларам: 5 ÷ 25 = 20%, то есть цена уменьшилась на 20%. Когда распродажа заканчивается и цена возвращается с 20 до 25, прирост снова равен 5 долларам, но теперь исходное значение равно 20, поэтому 5 ÷ 20 = 25%. Оба утверждения верны. Размер процентного изменения зависит от начального значения, поэтому в сообщении об изменении нужно указывать, относительно чего оно измерено.