비례식

공책 3권이 4.50달러면 7권은 10.50달러입니다. 3/4.50 = 7/10.50이기 때문입니다.

공책 3권이 4.50달러면 7권은 얼마일까요?

공식 없이 먼저 풀어 보세요. 공책 3권이 4.50달러일 때 7권은 얼마일까요? 답을 적어 두고 읽어 내려가면 됩니다. 원으로 바꿔도 같은 문제입니다. 김밥 3줄이 10,500원이면 7줄은 얼마일까요(지어낸 예)? 한 줄 값부터 구하는 방법이 있고, 「7줄은 3줄보다 4줄 많으니 4,000원 더 내면 되겠지」 하고 더하는 방법도 떠오릅니다. 맞는 쪽은 앞의 방법입니다. 그 방법을 식으로 적은 것이 비례식이고, 답은 아래에서 다시 나옵니다.

두 비가 같다는 식, 비례식

두 비가 같다는 것을 등호(=)로 나타내 2 : 3 = 8 : 12처럼 쓴 식을 비례식이라고 합니다. 「2 대 3은 8 대 12와 같다」고 읽습니다. OpenStax는 같은 식을 분수 꼴 a/b = c/d(b와 d는 0이 아님)로 써서 2/3 = 8/12처럼 나타냅니다. 앞 문제를 식으로 옮기면 공책 3권 / 4.50달러 = 공책 7권 / 10.50달러입니다.

두 막대에 3/4과 6/8이 같은 길이로 칠해져 있습니다. 두 비가 같은 양을 나타내므로 3 : 4 = 6 : 8은 비례식입니다. 비례식은 크기가 같은 분수를 비의 모양으로 다시 쓴 식이라고 보면 됩니다.

외항의 곱과 내항의 곱은 같습니다

비례식 a : b = c : d에서 바깥쪽의 a와 d를 외항, 안쪽의 b와 c를 내항이라고 합니다. 참인 비례식에서는 외항의 곱과 내항의 곱이 같습니다(a × d = b × c). 분수 꼴 a/b = c/d로 보면 엇갈려 곱한 두 값이 같다는 말입니다. 2 : 3 = 8 : 12에서 외항의 곱은 2 × 12 = 24, 내항의 곱은 3 × 8 = 24라 이 비례식은 참입니다. 3 : 5와 4 : 7은 3 × 7 = 21, 5 × 4 = 20으로 서로 달라 비례식이 되지 않습니다.

x/12 = 5/8에서 x 구하기

비례식 문제는 대부분 네 수 가운데 하나를 비워 둡니다. x/12 = 5/8을 풀어 보면, 엇갈려 곱해 8 × x = 12 × 5 = 60이므로 x = 60 ÷ 8 = 7.5입니다. 확인하면 7.5/12 = 0.625, 5/8 = 0.625로 같습니다. 엇갈려 곱하지 않아도 되는 지름길이 보일 때도 있습니다. 3/4 = x/20에서는 분모가 4에서 20으로 5배가 되었으니 x = 3 × 5 = 15입니다.

처음 문제의 답은 10.50달러입니다

문장제에서 가장 신경 쓸 일은 두 비를 같은 순서로 세우는 일입니다. 공책 문제라면 양쪽 모두 앞에는 공책 수, 뒤에는 값을 둡니다. 3 : 4.50 = 7 : x이고, 외항의 곱과 내항의 곱이 같으니 3 × x = 4.50 × 7 = 31.50, x = 10.50달러입니다. 김밥도 같습니다. 3 : 10,500 = 7 : x에서 3 × x = 73,500이므로 x = 24,500원입니다. 「4줄 많으니 4,000원 더」라고 더했다면 14,500원이 되어 한참 모자랍니다. 한쪽은 개수를 앞에, 다른 쪽은 값을 앞에 쓰면 계산은 되어도 답이 엉뚱해집니다.

퍼센트 문제도 비례식으로 풉니다

OpenStax는 퍼센트 문제도 비례식으로 씁니다. 우리 교과서 용어로 옮기면 (비교하는 양) : (기준량) = (퍼센트) : 100입니다. 70의 30%는 x : 70 = 30 : 100에서 100 × x = 2,100, x = 21입니다. 18이 72의 몇 %인지 물으면 18 : 72 = p : 100이므로 72 × p = 1,800, p = 25입니다.

기본요금이 있으면 비례식이 맞지 않습니다

비례식은 한 양이 두 배가 될 때 다른 양도 두 배가 되는 경우에만 맞습니다. 기본요금 4달러에 1킬로미터마다 2달러를 받는 택시(지어낸 예)를 생각해 보세요. 5킬로미터는 4 + 10 = 14달러인데 10킬로미터는 28달러가 아니라 4 + 20 = 24달러입니다. 고정된 기본요금이 끼어 있어 비례가 깨집니다. 비례식을 세우기 전에 한쪽이 0일 때 다른 쪽도 0인지 먼저 따져 보세요.