Proporzioni

Se 3 quaderni costano 4.50 dollari, 7 ne costano 10.50, perché 3/4.50 = 7/10.50.

Tre quaderni a 4.50. Quanto costano sette quaderni?

Prova prima di continuare a leggere, senza formule. Tre quaderni costano 4.50 dollari. Quanto costano sette quaderni? Scrivi la risposta. Un metodo consiste nel trovare prima il prezzo di un quaderno. Un altro sembra allettante, ma è sbagliato: sette è quattro più di tre, quindi aggiungo quattro dollari. Ritroverai la risposta più avanti, quando avremo dato un nome allo strumento alla base del primo metodo.

Una proporzione afferma che due rapporti sono uguali

OpenStax definisce una proporzione come un'uguaglianza della forma a/b = c/d, con b e d diversi da zero. Afferma che due rapporti o tassi sono uguali e si legge «a sta a b come c sta a d». L'uguaglianza 2/3 = 8/12 è una proporzione: 2 sta a 3 come 8 sta a 12. Lo è anche 3 quaderni / 4.50 dollari = 7 quaderni / 10.50 dollari.

Le barre mostrano 3/4 e 6/8 colorati per la stessa lunghezza. 3 : 4 = 6 : 8 è una proporzione perché i due rapporti descrivono la stessa quantità. Le proporzioni sono frazioni equivalenti in un altro contesto.

Il prodotto degli estremi è uguale al prodotto dei medi

In ogni proporzione a/b = c/d i prodotti in croce sono uguali: a × d = b × c. Verifica 2/3 = 8/12: 2 × 12 = 24 e 3 × 8 = 24. Coincidono, quindi la proporzione è vera. Verifica 3/5 e 4/7: 3 × 7 = 21 e 5 × 4 = 20. Sono diversi, quindi 3/5 e 4/7 non formano una proporzione. Nella scrittura con i due punti, il prodotto dei termini esterni è uguale a quello dei termini interni.

Risolvere x/12 = 5/8 e una scorciatoia per 3/4 = x/20

Nella maggior parte dei problemi sulle proporzioni manca un numero. Risolvi x/12 = 5/8. Moltiplica in croce: 8 × x = 12 × 5 = 60, quindi x = 60 ÷ 8 = 7.5. Verifica: 7.5/12 = 0.625 e 5/8 = 0.625. A volte c'è un metodo più rapido. In 3/4 = x/20, il denominatore passa da 4 a 20, cioè viene moltiplicato per 5, quindi x = 3 × 5 = 15.

Torniamo ai quaderni: 10.50 dollari

Riprendiamo i quaderni. In un problema a parole, il passaggio decisivo è scrivere i due rapporti nello stesso ordine. Metti i quaderni sopra i dollari in entrambi i membri: 3/4.50 = 7/x. Allora 3x = 4.50 × 7 = 31.50 e x = 10.50 dollari. La scorciatoia dell'addizione dà 4.50 + 4 = 8.50, che è troppo poco. Se metti i quaderni sopra da una parte e i dollari sopra dall'altra, i calcoli si possono comunque fare, ma il risultato non ha senso.

Il 30% di 70 come proporzione

OpenStax scrive anche i problemi percentuali come proporzioni: la parte sta al totale come la percentuale sta a 100, cioè parte/totale = percentuale/100. Quanto vale il 30% di 70? x/70 = 30/100, quindi 100x = 2100 e x = 21. 18 è quale percentuale di 72? 18/72 = p/100, quindi 72p = 1800 e p = 25.

Una tariffa taxi che non segue la regola

Una proporzione funziona solo quando, raddoppiando una quantità, raddoppia anche l'altra. Un taxi immaginario chiede 4 dollari di quota iniziale più 2 dollari al chilometro. 5 km costano 4 + 10 = 14 dollari, ma 10 km costano 4 + 20 = 24 dollari, non 28. La quota fissa impedisce la proporzionalità. Prima di impostare una proporzione, chiediti se a zero di una quantità corrisponderebbe zero dell'altra.